[论文解读] On some fundamental misunderstandings in the indeterminate couple stress model. A comment on recent papers of A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush

Patrizio Neff, Ingo von Münch+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 44被引用 67

一句话总结

本文挑战了Hadjesfandiari与Dargush关于不定微剪切应力张量反对称性的主张。研究表明，其结论源于错误且不完整的边界条件，而非物理必然性。作者建立了修正后的、一致的公式化方法，采用完整的牵引力边界条件，证明该模型在无需微剪切应力张量反对称性的前提下仍保持适定性。

ABSTRACT

In a series of papers which are either published [A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Couple stress theory for solids, Int. J. Solids Struct. 48, 2496-2510, 2011; A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Fundamental solutions for isotropic size-dependent couple stress elasticity, Int. J. Solids Struct. 50, 1253-1265, 2013] or available as preprints Hadjesfandiari and Dargush have reconsidered the linear indeterminate couple stress model. They are postulating a certain physically plausible split in the virtual work principle. Based on this postulate they claim that the second-order couple stress tensor must always be skew-symmetric. Since they use an incomplete set of boundary conditions in their virtual work principle their statement contains unrecoverable errors. This is shown by specifying their development to the isotropic case. However, their choice of constitutive parameters is mathematically possible and still yields a well-posed boundary value problem.

研究动机与目标

• 识别并纠正Hadjesfandiari与Dargush在近期不定微剪切应力模型公式化中所使用的错误边界条件。
• 解决长期存在的关于高梯度弹性中微剪切应力张量对称性的问题。
• 为经典不定微剪切应力模型建立数学上一致且完整的牵引力边界条件集合。
• 证明微剪切应力张量的反对称性假设并非物理必需，而是错误边界条件公式化的产物。
• 在修正后的边界条件下，验证不定微剪切应力模型的适定性，即使微剪切应力张量为对称时亦成立。

提出的方法

• 采用Hadjesfandiari与Dargush提出的物理上合理的功项分解方式，重新表述虚功原理。
• 从基本原理出发，重新推导各向同性线性不定微剪切应力模型的平衡方程与本构方程。
• 通过将经典牵引力边界条件与Hadjesfandiari与Dargush所用边界条件进行比较，识别边界条件公式中的错误。
• 表明微剪切应力张量反对称性的主张，关键依赖于使用了不完整的边界条件。
• 运用群论与共形不变性论证，支持修正后公式的有效性。
• 证明具有三个本构参数的修正微剪切应力模型，在修正后的边界条件下仍保持适定性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Hadjesfandiari-Dargush公式中微剪切应力张量必须反对称的主张，在严格的边界条件分析下不成立？
• RQ2 经典不定微剪切应力模型的正确且完整的牵引力边界条件是什么？
• RQ3 微剪切应力张量球对称部分的不定性是物理不一致，还是数学上可接受的特征？
• RQ4 当微剪切应力张量无需反对称时，不定微剪切应力模型是否仍能保持适定性与一致性？
• RQ5 边界条件的选择如何影响高梯度弹性中微剪切应力张量的对称性特征？

主要发现

• 不定微剪切应力模型中二阶微剪切应力张量必须反对称的主张无效，因其依赖于不完整且错误的边界条件。
• 先前研究中使用的经典牵引力边界条件在数学上不完整，导致公式化中出现不一致。
• 已为不定微剪切应力模型推导出一套新的、完整且一致的牵引力边界条件，解决了长期存在的模糊性问题。
• 微剪切应力张量球对称部分的不定性并非缺陷，而是一种类似于不可压缩材料中压力的特征，可通过边界条件恢复。
• 即使微剪切应力张量为对称时，该模型仍保持适定性与数学一致性，从而否定了反对称性的必要性。
• 在修正后的边界条件框架下，具有三个本构参数的修正微剪切应力模型完全一致且适定。