[论文解读] On some generalizations of real numbers representations

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Historical Geography and Cartography被引用 7

一句话总结

本文引入并研究了用于表示实数的广义数码系统，重点在于使用固定基数 s 和自然数子集 NB 的交替带符号展开。研究证明，特定区间 [x₀′, x₀′′] 内的所有实数均至少具有一种此类表示，并通过显式变换规则刻画了非唯一性的情形。主要贡献在于，通过基于 NB 成员资格的交替符号带符号级数，对表示及其歧义进行了完整表征。

ABSTRACT

The article is devoted to introduce and investigation of new numeral systems. These representations are generalizations of classical representations of real numbers. The main properties of investigating representations are described. The results are represented in International Conference of Yung Mathematicians, June 3-6, 2015, Kyiv.

研究动机与目标

• 开发并分析扩展经典表示的新型广义实数数码系统。
• 研究实数通过基数 s 和索引子集 NB 的交替带符号级数表示的条件。
• 刻画可通过此类系统表示的实数集合，并确定表示何时唯一或存在歧义。
• 通过变换函数建立这些广义表示与标准 s 进制展开之间的对应关系。

提出的方法

• 引入使用固定基数 s > 1 和自然数严格递增序列 B = (bn) 的准负 s 进制展开概念。
• 定义符号函数 δn = 1 若 n ∈ NB，否则 δn = 2，从而得到级数 x = ∑(−1)δn αn / sⁿ，其中 αn ∈ {0, 1, ..., s−1}。
• 通过极端数码序列 βn 和 γn 确定可表示区间的下确界 x₀′ 和上确界 x₀′′。
• 利用基于 NB 成员资格的递归区间细分与情形分析，证明所有 x ∈ [x₀′, x₀′′] 均存在表示。
• 引入变换引理，表明将级数 ∑(s−1)/sᵇⁿ 加到准负 s 进制展开上，可得到标准 s 进制展开。
• 通过比较在 n 和 n+1 均属于 NB 或其他组合下数码不同的表示，推导出非唯一性的显式条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些实数 x，存在序列 (αn)，使得 x = ∑(−1)δn αn / sⁿ，其中 δn 由 n 是否属于 NB 决定？
• RQ2 可表示实数的范围如何用基数 s 和子集 NB 表示？
• RQ3 在何种条件下，实数具有多个此类表示？
• RQ4 如何系统地刻画和分类表示的非唯一性？
• RQ5 这些广义表示与标准 s 进制展开之间存在何种关系？

主要发现

• 通过递归区间细分与情形分析，已证明区间 [x₀′, x₀′′] 内的所有实数均至少具有一种准负 s 进制展开。
• 下确界 x₀′ 由序列 βn = s−1（若 n ∈ NB），否则 βn = 0 实现；上确界 x₀′′ 由序列 γn = s−1（若 n ∉ NB），否则 γn = 0 实现。
• 非唯一性精确发生在四种情形下，取决于连续索引 n 和 n+1 是否属于 NB，且提供了显式变换规则。
• 变换引理建立了直接对应关系：将 ∑(s−1)/sᵇⁿ 加到准负 s 进制展开上，可得到标准 s 进制展开。
• 四种非唯一性情形通过数码级变换完全刻画：在 NB 中的位置使用 s−1−αn，相邻位置使用 0 或 s−1。
• 这些广义表示的度量性质与分形性质与标准 s 进制表示完全相同。