[论文解读] On some geometric representations of GL(n,O)

Uri Bader, Uri Onn|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文计算了与非阿基米德局部域的整数环 $\mathfrak{o}$ 的格拉斯曼表示相关的 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 的赫克代数的几何基与代数基之间的显式转移矩阵。关键结果将 $p$-进多变量雅可比函数——赫克代数中的最小幂等元——识别为代数基，且转移矩阵由 $\mathfrak{o}$-格的组合不变量编码。

ABSTRACT

We study a family of complex representations of the group GL(n,O), where O is the ring of integers of a non-archimedean local field F. These representations occur in the restriction of the Grassmann representation of GL(n,F) to its maximal compact subgroup GL(n,O). We compute explicitly the transition matrix between a geometric basis of the Hecke algebra associated with the representation and an algebraic basis which consists of its minimal idempotents. The transition matrix involves combinatorial invariants of lattices of submodules of finite O-modules. The idempotents are p-adic analogs of the multivariable Jacobi polynomials.

研究动机与目标

• 研究 $\mathrm{GL}_n(F)$ 的格拉斯曼表示在最大紧致子群 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 上的限制。
• 分析空间 $\mathcal{S}(\mathrm{Gr}(m,n,F))$ 在 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 作用下分解为不可约表示的结构。
• 计算赫克代数 $\mathcal{H}_m$ 中几何基（双陪集的特征函数）与代数基（最小幂等元）之间的转移矩阵。
• 建立 $p$-进多变量雅可比函数构成赫克代数的一组基，并证明其为经典雅可比多项式的 $p$-进类比。

提出的方法

• 利用 $I_\ell$-不变子空间对 $\mathcal{S}(\mathrm{Gr}(m,n,F))$ 的滤子化，将无穷维问题约化为有限群 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o}_\ell)$ 上的问题。
• 将有限格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(m,n,\mathfrak{o}_\ell)$ 与 $\mathbb{C}(\mathrm{Gr}(m,n,\mathfrak{o}_\ell))$ 等同，并分析 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o}_\ell)$ 在其上的作用。
• 将赫克代数 $\mathcal{H}_m$ 构造为 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 上双 $P_x$-不变函数的卷积代数，其几何基由双陪集的特征函数给出。
• 通过唯一 $P_x$-球对称向量 $e_\lambda^F$ 定义代数基，其被归一化为 $\mathcal{H}_m$ 中的最小幂等元。
• 应用格论工具，包括秩和商维数公式，通过子模的组合不变量计算转移矩阵的条目。
• 利用 Nakayama 引理和涉及 $\mathfrak{p}^i$-挠的正合列，将模的类型 $\tau$ 与其结构联系起来，从而推导出转移矩阵的条目。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫克代数 $\mathcal{H}_m$ 在 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 上的几何基与代数基之间的转移矩阵如何依赖于格的不变量？
• RQ2 在格子模子模的术语下，$p$-进多变量雅可比函数的精确组合结构是什么？
• RQ3 赫克代数中的最小幂等元如何与 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 的双陪集结构相关联？
• RQ4 $p$-进雅可比函数以何种方式推广 $q$-哈恩多项式和经典雅可比多项式？
• RQ5 是否可仅通过格子模子模的类型 $\tau$ 和 $\mathfrak{p}$-挠数据显式计算转移矩阵？

主要发现

• 定理 7 显式计算了几何基（双陪集特征函数）与代数基（最小幂等元 $e_\lambda^F$）之间的转移矩阵。
• 最小幂等元 $e_\lambda^F$ 被识别为多变量雅可比多项式的 $p$-进类比，作为格拉斯曼表示中 $P_x$-球对称向量出现。
• 矩阵条目由格子模子模的组合不变量决定，特别是子模 $x,y$ 的 $\frac{\mathfrak{p}x \cap \mathfrak{p}y}{\mathfrak{p}(x \cap y)}$ 的维数。
• 转移矩阵仅依赖于类型 $\tau(x)$、$\tau(y)$ 和 $\tau(x+y)$，且满足 $\mathrm{rk}(x+y) = \mathrm{rk}(x)$ 且 $x+y$ 覆盖 $x$ 的条件。
• 赫克代数 $\mathcal{H}_m$ 的结构通过双陪集几何与模论不变量（如 $\tau$ 和 $\mathfrak{p}$-挠）之间的相互作用得到完整描述。
• 该结果在 $\mathrm{GL}_n(\mathfrak{o})$ 的表示理论与 $\mathfrak{o}$-格的组合学之间建立了精确联系，推广了经典正交多项式与 $q$-多项式系统。