[论文解读] On Some Geometrical Aspects of Space-Time Description and Relativity

Rolf Dahm|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Relativity and Gravitational Theory参考文献 43被引用 2

一句话总结

本文通过将时空对称性嵌入 $\mathbb{P}^5$ 的射影几何中，利用线几何和普吕克-克莱因二次曲面，对相对论与量子场论进行了几何统一。它用基于 $\ mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ 的李代数框架取代了传统的张量形式和四维向量形式，表明洛伦兹提升和电磁场自然地作为二次曲面的自同构出现，为基于经典射影几何的相对论表示理论提供了更深刻、更普遍的基础。

ABSTRACT

In order to ask for future concepts of relativity, one has to build upon the original concepts instead of the nowadays common formalism only, and as such recall and reconsider some of its roots in geometry. So in order to discuss 3-space and dynamics, we recall briefly Minkowski's approach in 1910 implementing the nowadays commonly used 4-vector calculus and related tensorial representations as well as Klein's 1910 paper on the geometry of the Lorentz group. To include microscopic representations, we discuss few aspects of Wigner's and Weinberg's 'boost' approach to describe 'any spin' with respect to its reductive Lie algebra and coset theory, and we relate the physical identification to objects in $P^{5}$ based on the case $(1,0)\oplus(0,1)$ of the electromagnetic field. So instead of following this -- in some aspects -- special and misleading 'old' representation theory, based on 4-vector calculus and tensors, we provide and use an alternative representation based on line geometry which -- besides comprising known representation theory -- is capable of both describing (classical) projective geometry of 3-space as well as it yields spin matrices and the classical Lie transfer. In addition, this geometry is capable of providing a more general route to known Lie symmetries, especially of the su(2)$\oplus$i~su(2) Lie algebra of special relativity, as well as it comprises gauge theories and affine geometry. Thus it serves as foundation for a future understanding of more general representation theory of relativity based, however, on roots known from classical projective geometry and $P^{5}$. As an application, we discuss Lorentz transformations in point space in terms of line and Complex geometry, where we can identify them as...

研究动机与目标

• 通过将其建立在经典射影几何基础上，将相对论表示理论重新表述为超越标准四维向量和张量形式的形式。
• 通过 $\ mathbb{P}^5$ 和普吕克-克莱因二次曲面的几何，统一描述时空对称性、旋量和规范场论。
• 表明洛伦兹变换和相对论性角动量算符自然地作为普吕克-克莱因二次曲面的自同构出现。
• 使用四元齐次坐标，为二阶曲面和线族提供一种非局域、几何一致的算子形式化方法。
• 通过 $\ mathbb{P}^5$ 中的线几何和陪集理论，推广维格纳和温伯格的‘任意自旋’表示，避免传统张量方法的局限性。

提出的方法

• 使用普吕克-克莱因二次曲面作为洛伦兹对称性的几何基础。
• 应用线几何和普吕克-克莱因二次曲面，将时空对称性与射影几何联系起来。
• 推导出一个非局域算子 $L_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}\left( x_\alpha \frac{\partial}{\partial y_\beta} - x_\beta \frac{\partial}{\partial y_\alpha} \right)$，作用于二次曲面以表示线坐标 $p_{\alpha\beta}$，推广了动量和角动量的概念。
• 建立李代数 $\mathfrak{so}(4)$ 与线算子的对易代数之间的对应关系，表明 $[L_{\alpha\beta}, L_{\gamma\delta}]$ 闭合为类似于 $\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ 的结构。
• 将电磁场重新解释为 $\ mathbb{P}^5$ 中的 $(1,0) \oplus (0,1)$ 表示，将其识别为射影几何中线复形的一个特例。
• 利用经典射影几何的传递原理，推广标准相对论形式化方法，用线和复形等几何基元取代以坐标为中心的观点。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛伦兹变换如何系统地作为普吕克-克莱因二次曲面的自同构导出？
• RQ2 相对论性角动量算符 $M_{\mu\nu}$ 的几何起源是什么？其在基于线几何和 $\ mathbb{P}^5$ 的框架下如何解释？
• RQ3 标准相对论表示理论，尤其是‘任意自旋’的情形，能否通过线几何和普吕克-克莱因二次曲面重新表述？
• RQ4 作用于二次曲面的非局域算子 $L_{\alpha\beta}$ 如何再现已知的李代数结构，如 $\mathfrak{so}(4)$ 和 $\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$？
• RQ5 普吕克-克莱因二次曲面的自同构在几何上如何统一描述洛伦兹对称性、旋量和规范场论？

主要发现

• 洛伦兹变换被识别为普吕克-克莱因二次曲面自同构的一个子集。
• 线算子 $L_{\alpha\beta}$ 的对易代数结构同构于 $\mathfrak{so}(4)$，其对易子 $[L_{\alpha\beta}, L_{\gamma\delta}]$ 闭合为 $L_{\rho\sigma}$ 算子的组合，证实了 $\mathfrak{su}(2) \oplus i\mathfrak{su}(2)$ 的李代数结构。
• 电磁场作为 $(1,0) \oplus (0,1)$ 表示，被证明对应于 $\ mathbb{P}^5$ 中的特定线复形，为场强张量提供了几何解释。
• 定义在二次曲面上两点 $x$ 和 $y$ 上的非局域算子 $L_{\alpha\beta}$ 产生线坐标 $p_{\alpha\beta} = x_\alpha y_\beta - x_\beta y_\alpha$，在几何框架中推广了动量的概念。
• 标准四维向量形式被证明是更广泛射影几何框架的一个特例，其中普吕克-克莱因二次曲面作为核心几何对象。
• 本文表明，相对论的通常张量形式和四维向量表示被嵌入一个基于 $\ mathbb{P}^5$ 的更一般的几何结构中，暗示通过经典射影几何可实现相对论与规范场论的更深层次统一。