[论文解读] On some integrals involving the Hurwitz zeta function: part 2

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|Jul 11, 2001

Advanced Mathematical Identities参考文献 27被引用 12

一句话总结

本文推导了涉及Hurwitz zeta函数及其相关特殊函数（如多分次函数、对数Gamma函数和对数正弦函数）的显式不定积分公式。通过分部积分法及Hurwitz zeta函数在非正整数处的导数性质，作者引入了函数族 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $，该函数族使得 $ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $ 和多分次函数的积分能够实现闭式求值，扩展了先前工作的结果，提供了新的解析表达式与定积分求值。

ABSTRACT

We establish a series of indefinite integral formulae involving the Hurwitz zeta function and other elementary and special functions related to it, such as the Bernoulli polynomials, ln sin (πq), ln Gamma(q) and the polygamma functions. Many of the results are most conveniently formulated in terms of a family of functions A_k(q):=k zeta'(1-k,q), where k is a natural number, and a family of polygamma functions of negative order, whose properties we study in some detail.

研究动机与目标

• 将Hurwitz zeta函数相关积分的求值从定积分扩展至不定积分形式。
• 引入并研究函数族 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $（$ k \in \mathbb{N} $），该族函数推广了zeta函数在负整数处的导数。
• 利用 $ A_k(q) $ 的性质，推导 $ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $ 和多分次函数积分的闭式表达式。
• 基于新的不定积分框架，重新推导并推广文献[7]中已知的定积分求值结果。

提出的方法

• 对形如 $ \int f(q)\zeta(z, a + bq)\,dq $ 的积分使用分部积分法，利用导数恒等式 $ \frac{\partial}{\partial q}\zeta(z-1, a + bq) = b(1-z)\zeta(z, a + bq) $。
• 引入函数族 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ 作为核心工具，用于表达涉及 $ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $ 和负多分次函数的积分。
• 应用Hurwitz zeta函数的傅里叶表示与积分表示，推导恒等式与渐近行为。
• 利用伽马函数的反射公式及Lerch恒等式 $ \ln\Gamma(q) = \zeta'(0,q) - \zeta'(0) $，将zeta函数导数与对数伽马积分联系起来。
• 应用黎曼zeta函数的函数方程，将 $ \zeta'(-1) $ 表示为 $ \zeta'(2) $ 的形式，从而实现定积分中常数项的求值。
• 通过在区间如 $ [0,1] $ 或 $ [0,1/2] $ 上求值不定积分结果，推导出新的定积分，利用对称性与特殊函数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分部积分与参数微分法，对涉及Hurwitz zeta函数 $ \zeta(z, q) $ 的不定积分实现闭式求值？
• RQ2 函数 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ 在简化 $ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $ 和多分次函数积分中起到何种作用？
• RQ3 是否可利用不定积分框架重新推导并推广已知的 $ \int_0^1 q^n \zeta(z,q)\,dq $ 及其相关形式的定积分求值？
• RQ4 $ \zeta'(z,q) $ 在负整数处的性质如何与负多分次函数及对数伽马函数的结构相关联？
• RQ5 在区间 $ [0,1] $ 或 $ [0,1/2] $ 上求值不定积分时，会涌现出哪些新的定积分恒等式，特别是针对 $ \ln\sin(\pi q) $ 和 $ \ln\Gamma(q) $？

主要发现

• 不定积分 $ \int q^n \zeta(z, a + bq)\,dq $ 可表示为有限和形式，涉及 $ \zeta(z-k, a + bq) $，系数依赖于Pochhammer符号 $ (1-z)_k $，对 $ n \in \mathbb{N}_0 $ 成立。
• 引入函数 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $，并证明其在求解 $ \ln\Gamma(q) $、$ \ln\sin(\pi q) $ 和负多分次函数积分中具有关键作用。
• 对于 $ \int_0^1 q^n \ln\sin(\pi q)\,dq $，结果为 $ -\frac{\ln 2}{n+1} + n!\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k \zeta(2k+1)}{(2\pi)^{2k}(n+1-2k)!} $，并给出了 $ n=1,2,3 $ 的显式值。
• 积分 $ \int_0^1 (\ln\Gamma(q))^2\,dq $ 的结果为 $ \frac{\gamma^2}{12} + \frac{\pi^2}{48} + \frac{1}{3}\gamma\ln\sqrt{2\pi} + \frac{4}{3}\ln^2\sqrt{2\pi} - \frac{\gamma + 2\ln\sqrt{2\pi}}{\pi^2}\zeta'(2) + \frac{\zeta''(2)}{2\pi^2} $，与已知结果一致。
• 积分 $ \int_0^1 \psi^{(-k)}(q)\psi^{(-k')}(q)\,dq $ 的结果为 $ \frac{2\cos\left(\frac{(k-k')\pi}{2}\right)}{(2\pi)^{k+k'}}\left[ \zeta''(k+k') - 2(\gamma + \ln 2\pi)\zeta'(k+k') + \left( (\gamma + \ln 2\pi)^2 + \frac{\pi^2}{4} \right)\zeta(k+k') \right] $，对 $ k,k' \in \mathbb{N} $ 成立。