[论文解读] On some mean square estimates for the zeta-function in short intervals

Aleksandar Ivić|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过指数和估计与Voronoï型公式，建立了黎曼zeta函数在短区间内误差项 $ E^*(t) $ 及其积分 $ R(t) $ 的改进下界。证明了当 $ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ 时，有 $ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $ 与 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \gg HT\log^3 T $，扩展了先前的适用范围，并确认了这些误差函数在短区间内持续存在较大取值。

ABSTRACT

Let $Δ(x)$ denote the error term in the Dirichlet divisor problem, and $E(T)$ the error term in the asymptotic formula for the mean square of $|ζ(1/2+it)|$. If $E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π)$ with $Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - 1/2Δ(4x)$ and we set $\int_0^T E^*(t)\,dt = 3πT/4 + R(T)$, then we obtain $$ \int_T^{T+H}(E^*(t))^2\,dt \gg HT^{1/3}\log^3T $$ and $$ HT\log^3T \ll \int_T^{T+H}R^2(t)\,dt \ll HT\log^3T, $$ for $T^{2/3+ε}\le H \le T$.

研究动机与目标

• 改进此前关于 $ H $ 的范围，使得在短区间 $[T, T+H]$ 内 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 的均方下界成立。
• 确立 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 在短区间内表现出大振荡，确认其不可能过小。
• 通过新估计，将 $ \int_0^T (E^*)^2 dt $ 与 $ \int_0^T R^2(t) dt $ 的渐近公式有效性扩展至更短区间。
• 研究 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 的大小分布，特别是其在短区间内是否存在大正负值。

提出的方法

• 利用Atkinson的 $ E(T) $ 显式公式与 $ \Delta^*(x) $ 的Voronoï型公式，将 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 表示为振荡指数和的形式。
• 应用二维指数和估计，控制 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 的渐近展开中的误差项。
• 利用三角恒等式与 $ \sin x $ 的界，估计含 $ \sin^2(\cdots) $ 与 $ \sin(\cdots) $ 项的振荡积分。
• 将和式分解为二进区间 $ K < n \leq 2K $，并通过 $ \ll_{\varepsilon} T^{1/2+\varepsilon}(HK^{3/2} + T^{1/2}K^2) $ 等界估计指数和的 $ L^2 $-范数。
• 利用恒等式 $ 1 - \cos \gamma = 2\sin^2(\gamma/2) $ 与 $ |\sin x| \geq \frac{2}{\pi}|x| $（当 $ |x| \leq \pi/2 $ 时），从振荡贡献中提取主项。
• 将 $ E^*(t) $ 的主项与 $ \sum_{n \ll T^{1/3}} d^2(n) n^{-3/2} \int_T^{T+H} t^{1/2} \sin^2(\cdots) dt $ 比较，得出阶为 $ HT^{1/3}\log^3 T $ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $ 成立的 $ H $ 范围改进至超过 $ H \geq T^{5/6+\varepsilon} $?
• RQ2 误差项 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 在长度满足 $ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ 的短区间内是否表现出大正负值？
• RQ3 对于 $ \int_0^T R^2(t) dt $ 的渐近公式，其误差项能否优于 $ O_{\varepsilon}(T^{11/6+\varepsilon}) $?
• RQ4 能否在 $ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ 时建立 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt $ 的下界，使其与 $ E^*(t) $ 的改进范围一致？
• RQ5 在短区间内 $ E^*(t) $ 与 $ R(t) $ 的精确大小为何？它们是否满足类似于 $ E(t) $ 与 $ \Delta(x) $ 的 $ \Omega $-结果？

主要发现

• 当 $ T^{2/3+\varepsilon} \leq H \leq T $ 时，$ E^*(t) $ 的均方满足 $ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $，改进了先前下界适用的范围。
• 在相同 $ H $ 范围内，$ R(t) $ 的均方满足 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \gg HT\log^3 T $，扩展了 $ R(t) $ 的 $ \Omega $-结果的有效性。
• 当 $ T^{\varepsilon} \leq H \leq T $ 时，上界 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \ll_{\varepsilon} HT\log^3 T + T^{5/3+\varepsilon} $ 成立，确认了短区间内的增长速率。
• 该结果表明，每个长度为 $ H = T^{2/3+\varepsilon} $ 的区间 $[T, T+H]$ 内均存在点使得 $ |E^*(t)| \gg t^{1/6}\log^{3/2}t $ 与 $ |R(t)| \gg t^{1/2}\log^{3/2}t $，确认了其非零振荡。
• 证明依赖于指数和的估计与振荡积分中主项的提取，误差项通过 $ O_{\varepsilon}(T^{1+\varepsilon}) $ 界得到控制。
• 结果表明 $ R(t) $ 的渐近结构由 $ n \leq T^{1/2-\varepsilon} $ 的和决定，主导贡献来自 $ n \ll T^{1/3} $，从而导出下界。