[论文解读] On some open problems in Diophantine approximation

Nikolay Moshchevitin|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 101被引用 19

一句话总结

本文综述了丢番图逼近中的主要开放问题，重点关注小伍德猜想及其与实数同时有理逼近相关的若干问题。文章建立了丢番图逼近、代数数域与数的几何之间的联系，证明了该猜想对某些代数数成立，并将连分数部分商的增长与闵可夫斯基问题函数的可微性联系起来。

ABSTRACT

We discuss several open problems in Diophantine approximation. Among them there are famous Littlewood's and Zaremba's conjectures as well as some new and not so famous problems.

研究动机与目标

• 提高对丢番图逼近中长期存在的开放问题的认识，特别是小伍德猜想和扎雷姆巴猜想。
• 探讨丢番图逼近、代数数域与格的几何之间的关系。
• 研究闵可夫斯基问题函数及其推广的可微性特征，及其与连分数部分商的关系。
• 考察具有正齐次最小值的格的结构及其与奥本海姆猜想的联系。
• 研究连分数展开中部分商之和的渐近行为及其对奇异函数的影响。

提出的方法

• 以狄利克雷逼近定理为基础工具，用于控制同时逼近误差的界。
• 应用数的几何中的结果，特别是对 R^n 中格的齐次最小值的研究。
• 运用佩克定理，为完全实域中的代数数建立同时逼近的定量界。
• 通过丹乔伊-蒂奇-乌茨族的奇异函数族分析闵可夫斯基问题函数及其推广。
• 利用部分商之和 S_x(t) 来刻画奇异函数的可微性，并推导其导数的界。
• 应用遍历理论与度量丢番图逼近，包括加拉格尔定理，分析逼近不等式在几乎处处意义下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 小伍德猜想是否对所有实数对都成立？对于代数数，其现状如何？
• RQ2 在 n=2 维时，奥本海姆猜想能否被证明？它与小伍德猜想有何关联？
• RQ3 连分数中部分商增长速率与闵可夫斯基问题函数可微性之间的精确关系是什么？
• RQ4 对于哪些 λ 值，丹乔伊-蒂奇-乌茨函数 g_λ(x) 会作为自然连分数序列的极限分布函数出现？
• RQ5 S_x(t)/t 的 limsup 与 liminf 的最优界是什么？其与 g_λ(x) 的导数有何关系？

主要发现

• 对于所有满足 1, θ₁, θ₂ 构成实三次域基的对 (θ₁, θ₂)，小伍德猜想成立。
• 对于任意实代数数域，其次数为 n+1 且所有共轭均为实数的情形，存在无穷多个 q，使得 ||qθ_j|| ≤ C/q^{1/n} 且 ||qθ_j|| ≤ C/(q^{1/n} (log q)^{1/(n-1)})，这意味着该猜想对这些数成立。
• 由艾因齐德尔、卡托克与林登施特劳斯证明，违反小伍德猜想的对 (θ₁, θ₂) 的集合具有零豪斯多夫维数。
• 对于任意 λ ∈ [κ₁, κ₂]，存在无理数 x, y, z ∈ [0,1]，使得 S_x(t)/t → λ，且 ?′(x) = 0，?′(y) = +∞，但 ?′(z) 不存在。
• 常数 κ₁ 与 κ₂ 满足：κ₁ = sup{κ : limsup S_t(x)/t < κ ⇒ ?′(x) = +∞}，且 κ₂ = inf{κ : liminf S_t(x)/t > κ ⇒ ?′(x) = 0}。
• 当 λ = (3−√5)/2 时，函数 g_λ(x) 是半正则连分数序列的极限分布函数，且 Gayfulin 已计算出 κ₁(λ) 与 κ₂(λ)。