[论文解读] On some orthogonal functions generalizing Jack polynomials

Stephen Griffeth|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文通过在ℂⁿ上构造取值于复反射群G(r,1,n)的不可约表示的正交函数，将非对称杰克多项式推广，利用有理谢雷德尼克代数的交换子代数𝒯𝒯。建立了范数公式，并通过标准表和𝒯𝒯的特征值，给出了子模格的组合描述。

ABSTRACT

The rational Cherednik algebra $\HH$ is a certain algebra of differential-reflection operators attached to a complex reflection group $W$. Each irreducible representation $S^\lambda$ of $W$ corresponds to a standard module $M(\lambda)$ for $\HH$. This paper deals with the infinite family $G(r,1,n)$ of complex reflection groups; our goal is to study the standard modules using a commutative subalgebra $ tt$ of $\HH$ discovered by Dunkl and Opdam. In this case, the irreducible $W$-modules are indexed by certain sequences $\lambda$ of partitions. We first show that $ tt$ acts in an upper triangular fashion on each standard module $M(\lambda)$, with eigenvalues determined by the combinatorics of the set of standard tableaux on $\lambda$. As a consequence, we construct a basis for $M(\lambda)$ consisting of orthogonal functions on $\CC^n$ with values in the representation $S^\lambda$. For $G(1,1,n)$ with $\lambda=(n)$ these functions are the non-symmetric Jack polynomials. We use intertwining operators to deduce a norm formula for our orthogonal functions and give an explicit combinatorial description of the lattice of submodules of $M(\lambda)$ in the case in which the orthogonal functions are all well-defined.

研究动机与目标

• 将非对称杰克多项式的理论推广至复反射群的无限族G(r,1,n)。
• 分析有理谢雷德尼克代数H的标准模M(λ)上交换子代数𝒯𝒯的作用。
• 利用𝒯𝒯的特征值，构造ℂⁿ上取值于S^λ的正交函数基。
• 通过交织算子推导正交函数的范数公式。
• 在正交函数定义良好的情况下，提供M(λ)的子模格的组合描述。

提出的方法

• 使用与复反射群G(r,1,n)相关的有理谢雷德尼克代数H。
• 应用由Dunkl和Opdam先前发现的交换子代数𝒯𝒯，分析标准模M(λ)的结构。
• 证明𝒯𝒯在M(λ)上以上三角形式作用，其特征值由λ上的标准表决定。
• 利用𝒯𝒯的特征值组合结构，构造ℂⁿ上取值于S^λ的正交函数基。
• 通过交织算子推导正交函数的范数公式。
• 利用特征值结构和标准表的组合性质，描述M(λ)在正确定义情况下的子模格。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理谢雷德尼克代数的交换子代数𝒯𝒯在G(r,1,n)的标准模M(λ)上如何作用？
• RQ2 能否从𝒯𝒯的特征值构造出ℂⁿ上取值于S^λ的正交函数基？
• RQ3 由该构造产生的正交函数的范数公式是什么？
• RQ4 如何通过标准表和特征值，组合地描述M(λ)的子模格？
• RQ5 这些函数在W = G(1,1,n)且λ = (n)时，如何推广非对称杰克多项式？

主要发现

• 交换子代数𝒯𝒯在每个标准模M(λ)上以上三角形式作用，其特征值由λ上的标准表决定。
• 构造了ℂⁿ上取值于S^λ的正交函数基，当W = G(1,1,n)且λ = (n)时，推广了非对称杰克多项式。
• 通过交织算子推导出正交函数的范数公式，提供了其大小的定量度量。
• 当正交函数定义良好时，M(λ)的子模格可通过特征值和标准表组合地描述。
• 该构造揭示了G(r,1,n)表示理论与多分拆及标准表组合之间的直接联系。
• 𝒯𝒯在M(λ)上的特征值由λ上标准表的内容和形状完全刻画，从而可显式计算正交函数基。