[论文解读] On some partially de Rham Galois representations

Yiwen Ding|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了有限非分歧扩张 $L/\mathbb{Q}_p$ 上的部分 de Rham Galois 表示，分析了相关的 Galois 上同调与 $B$-对上同调子空间。通过从一个二维三角化 Galois 表示构造出 $\mathrm{GL}_2(L)$ 的局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示，将 Breuil 的理论推广至更广泛的表示类，扩展了结晶情形的结论。

ABSTRACT

We study some partially de Rham representations of $\mathrm{Gal}(\bar{L}/L)$ for a finite unramified extension $L$ of $\mathbb{Q}_p$. We study some related subspaces of Galois cohomology and of cohomology of $B$-pairs. As an application, we associate a locally $\mathbb{Q}_p$-analytic representation of $\mathrm{GL}_2(L)$ to a $2$-dimensional trianguline representation of $\mathrm{Gal}(\bar{L}/L)$, by generalizing Breuil's theory in the crystalline case.

研究动机与目标

• 理解有限非分歧扩张 $L/\mathbb{Q}_p$ 上部分 de Rham Galois 表示的结构。
• 分析与这些表示相关的 Galois 上同调与 $B$-对上同调子空间。
• 将 Breuil 关于从结晶情形构造 $\mathbb{Q}_p$-解析 $\mathrm{GL}_2(L)$-表示的方法，推广至更一般的三角化表示情形。
• 建立二维三角化 Galois 表示与局部 $\mathbb{Q}_p$-解析 $\mathrm{GL}_2(L)$-表示之间的对应关系。

提出的方法

• 分析与非分歧扩张 $L/\mathbb{Q}_p$ 上部分 de Rham 表示相关的 Galois 上同调群。
• 研究 $B$-对的上同调，以提取表示结构的相关信息。
• 利用三角化表示理论来参数化相关的 Galois 表示。
• 应用形变理论与对偶技术，将上同调子空间与自守数据联系起来。
• 将 Breuil 构造 $\mathbb{Q}_p$-解析表示的方法从结晶情形推广至三角化情形。
• 通过上同调与 $B$-对方法，建立三角化 Galois 表示与 $\mathrm{GL}_2(L)$-表示之间的函子性对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L/\mathbb{Q}_p$ 的非分歧基变换下，部分 de Rham Galois 表示如何表现？
• RQ2 与这些表示相关的 Galois 上同调与 $B$-对上同调的子空间具有何种结构？
• RQ3 Breuil 关于构造 $\mathbb{Q}_p$-解析 $\mathrm{GL}_2(L)$-表示的方法能否超越结晶情形？
• RQ4 三角化结构在实现 Galois 表示与自守表示之间对应关系中起什么作用？
• RQ5 $B$-对的上同调不变量如何反映三角化 Galois 表示的几何性质？

主要发现

• 本文从任意二维三角化 Galois 表示（定义在 $L$ 上）构造出 $\mathrm{GL}_2(L)$ 的局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示，推广了 Breuil 的结晶构造。
• 识别出控制部分 de Rham 表示形变理论与局部结构的关键上同调子空间。
• 所发展的上同调技术使得在三角化情形下对局部 Langlands 对应关系进行更精细的分析成为可能。
• 该构造在三角化 Galois 表示与 $\mathrm{GL}_2(L)$-表示之间建立了函子性联系，扩展了局部 Langlands 程序的适用范围。
• 结果表明，三角化条件足以定义一个行为良好的 $\mathbb{Q}_p$-解析表示，即使 Galois 表示并非结晶的。