[论文解读] On some partitions of a flag manifold

G. Lusztig|ArXiv.org|Jun 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究复数域上半单群中幂幺元素相关的旗流形分划 $Β_g^w$ 的拓扑性质，采用 $l$-进上同调与特征层技巧。文中引入了 Iwahori-Hecke 代数中的中心元素 $Π_{g,z}$，其迹不变量 $Τ^{w}_{g,z}$ 与 Springer 对应关系及幂幺共轭类到 Weyl 群共轭类的映射相关联，提供了支持该不变量与表示理论之间存在普遍联系的证据。

ABSTRACT

In an earlier paper by Kazhdan and the author, a map from the set of unipotent classes in a reductive connected group over C to the conjugacy classes in the Weyl group was defined. Here we present some experimental evidence for a possibly alternative definition of that map in terms of the pieces in certain partitions of the flag manifold.

研究动机与目标

• 研究复半单群 $G$ 中幂幺元素 $g$ 的代数簇 $\mathcal{B}_g^w = \{B \in \mathcal{B} \mid (B, gBg^{-1}) \in \mathcal{O}_w\}$ 的拓扑结构。
• 理解 $\mathcal{B}_g^w$ 的 $l$-进上同调（配备 $\overline{Z}(g)$ 作用）如何编码 $G$ 的表示理论信息。
• 检验如下猜想：由 $z \in \overline{Z}(g)$ 在上同调上的迹导出的不变量 $\Xi^{C}_{g,z}$ 与 Springer 对应关系及幂幺类到 Weyl 群共轭类的映射相关联。
• 将 [KL, 9.1] 的方法推广至对称空间，定义从 $K$-轨道到相对 Weyl 群 $\underline{\mathcal{W}}$ 的映射 $\Psi$。

提出的方法

• 定义 $\Xi^{w}_{g,z} = \sum_{i,j} (-1)^i \text{tr}(z, H^i_c(\mathcal{B}_g^w, \overline{\mathbb{Q}}_l)_j) v^j \in \mathbb{Z}[v]$，利用带权滤子的 $l$-进上同调。
• 在 Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 中构造 $\Pi_{g,z} = \sum_{w \in \mathbb{W}} \Xi^{w}_{g,z} \hat{T}_w$，其中 $\hat{T}_w = v^{-2l(w)} T_w$。
• 通过类比 [DL, Theorem 1.6] 的论证方法，将 Frobenius 换为 $g$ 的共轭作用，证明 $\Pi_{g,z}$ 属于 $\mathcal{H}$ 的中心。
• 对幂幺 $g$，计算 $\Xi^{C}_{g,1}$（$C \in \underline{\mathbb{W}}$），并定义 $\mathbb{S}_g$ 为满足 $\Xi^{C}_{g,1} \neq 0$ 且在 $g$ 的共轭类边界上消失的 $C$ 的集合。
• 通过 $\mathfrak{p}_\Phi = \Phi \otimes \mathfrak{p}$ 中的正则半单提升，定义映射 $\Psi: \text{unipotent } K\text{-orbits in } \mathfrak{p}_{\text{nil}} \to \underline{\mathcal{W}}$，推广 [KL, 9.1]。
• 通过低秩群（如 $A_1, A_2, B_2, G_2$）的显式计算，验证关于 $\Xi^{C}_{g,1}$ 及 $\mathbb{S}_g$ 大小的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于幂幺 $g$，上同调不变量 $\Xi^{C}_{g,1}$ 是否能检测到与 $g$ 的幂幺类相关的 Weyl 群共轭类 $C$？
• RQ2 非零 $\Xi^{C}_{g,1}$ 的个数，即 $|\mathbb{S}_g|$，是否等于 Springer 对应中 $\overline{Z}(g)$ 的不可约表示个数？
• RQ3 $\Xi^{w}_{g,1}$ 是否等于 $w$ 在 $\mathbb{W}$ 作用于 $\bigoplus_i H^{2i}(\mathcal{B}_g, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ 的 Springer 表示上的迹？
• RQ4 能否将 [KL, 9.1] 中针对 $G=H\times H$, $K=\text{diag}(H)$ 的方法推广至对称空间 $G/K$，通过映射 $\Psi$？
• RQ5 在一般情况下，从 $K$-轨道到 $\underline{\mathcal{W}}$ 的映射 $\Psi$ 是否为单射或满射？

主要发现

• 当 $G = PGL_3(\mathbb{C})$ 且 $g$ 为正则半单时：$\Pi_{g,1} = 6 + 3(v^2 - 1)(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + (v^2 - 1)^2(\hat{T}_{12} + \hat{T}_{21}) + (v^6 - 1)\hat{T}_{121}$。
• 当 $G = PGL_3(\mathbb{C})$ 且 $g$ 为平移变换时：$\Pi_{g,1} = (2v^2 + 1) + v^4(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + v^6\hat{T}_{121}$。
• 当 $G$ 为 $A_1$ 型时：$\mathbb{S}_{u_1} = \{(1)\}$，$\Xi^{1}_{u_1,1} = 1 + v^2$，且 $\mathbb{S}_{u_0} = \{(s_1)\}$，$\Xi^{s_1}_{u_0,1} = v^2$。
• 当 $G$ 为 $B_2$ 型时：$\mathbb{S}_{u_4} = \{(1)\}$，$\Xi^{1}_{u_4,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4)$，且 $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_2), (s_1s_2s_1s_2)\}$，其中 $\Xi^{(s_2)}_{u_1,1} = 2v^4$，$\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(v^2 - 1)$。
• 当 $G$ 为 $G_2$ 型时：$\mathbb{S}_{u_6} = \{(1)\}$，$\Xi^{1}_{u_6,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4 + v^8)$，且 $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_1s_2s_1s_2)\}$，其中 $\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(1 + v^2)$。
• 在对称空间情形下，当 $(G,K) = (GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 时，映射 $\Psi$ 是从 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ 中 $K$-轨道到 $\underline{\mathcal{W}}$ 的双射。