[论文解读] On some projective unitary qutrit gates

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在 $SU(2)$ Chern-Simons 理论在第4级的任意子编织和融合操作下，为有限子群 $SU(3)$ 的 $D(18,1,1;2,1,1)$ 群提供了物理实现，作为一组投影酉的三量子比特门。它引入了三量子比特 $2222$ 系统的新基，将弗里德曼群重新解释为与 $D(18,1,1;2,1,1)$ 同构，并利用编织和干涉测量构造了新的辅助态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$ 用于量子比特 $1221$，实现了无泄漏协议下的通用量子计算。

ABSTRACT

As part of a protocol, we braid in a certain way six anyons of topological charges $222211$ in the Kauffman-Jones version of $SU(2)$ Chern-Simons theory at level $4$. The gate we obtain is a braid for the usual qutrit $2222$ but with respect to a different basis. With respect to that basis, the Freedman group of \cite{LEV} is identical to the $D$-group $D(18,1,1;2,1,1)$. We give a physical interpretation for each Blichfeld generator of the group $D(18,1,1;2,1,1)$. Inspired by these new techniques for the qutrit, we are able to make new ancillas, namely $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,+|3>)$ and $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,-|3>)$, for the qubit $1221$.

研究动机与目标

• 在 $SU(2)$ Chern-Simons 理论第4级的任意子编织背景下，为 $D(18,1,1;2,1,1)$ 群提供物理解释。
• 通过基变换，将648阶的弗里德曼群重新解释为与 $D(18,1,1;2,1,1)$ 同构。
• 利用编织和干涉测量，构造量子比特 $1221$ 的新辅助态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$，满足无泄漏条件。
• 证明由任意子编织和融合操作导出的四个矩阵生成的群 $\overset{\sim}{\mathcal{G}} = D(18,1,1;2,1,1)$，其中一个生成元可表示为 $\overset{\sim}{G_2}$ 的幂次。

提出的方法

• 本文为三量子比特 $2222$ 系统引入新基 $\{e_1, e_2, e_3\} = \left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$，将标准编织矩阵 $G_1$ 和 $G_2$ 转换为新生成元 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}$。
• 定义新矩阵 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$，其通过在四个电荷为2的任意子上编织实现，且证明 $N$ 生成与 $\overset{\sim}{G_2}$ 相同的子群。
• 通过与转移矩阵 $O$ 的共轭作用，证明群 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 同构于 $D(18,1,1;2,1,1)$，其中 $O$ 在基中交换了 $|0\rangle$ 与 $|4\rangle$ 的角色。
• 利用融合操作（FFO）将初始162阶群扩展为完整648阶群，确认 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 为完整的 $D(18,1,1;2,1,1)$ 群。
• 证明表示融合操作的矩阵 $\overset{\sim}{FUM}$ 属于生成集，且 $\overset{\sim}{\mathcal{G}} = \langle \overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM} \rangle$，其中 $N$ 可由 $\overset{\sim}{G_2}$ 导出。
• 通过在量子比特 $2211$ 上施加单个辫子 $\sigma_2$，实现对 $|1\rangle$ 和 $|3\rangle$ 分量的等幅映射，满足无泄漏条件，从而实现辅助态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$ 的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在使用任意子编织和融合操作的拓扑量子计算模型中，物理实现通过Blichfeld生成元定义的 $D(18,1,1;2,1,1)$ 群？
• RQ2 三量子比特 $2222$ 系统中基变换如何影响弗里德曼群的解释及其与 $D(18,1,1;2,1,1)$ 的同构性？
• RQ3 能否利用编织和干涉测量构造出量子比特 $1221$ 的新辅助态，使其 $|1\rangle$ 和 $|3\rangle$ 振幅相等，并满足无泄漏条件？
• RQ4 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$ 是否能在新基下通过四个电荷为2的任意子编织实现？其与群结构的关系如何？
• RQ5 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 是否由 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$ 生成，且是否在共轭下与完整的 $D(18,1,1;2,1,1)$ 群同构？

主要发现

• 由 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$ 生成的群 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 是 $SU(3)$ 的有限子群，阶为648，且同构于 $D(18,1,1;2,1,1)$，其结构为 $C_6 \times C_{18} \rtimes S_3$。
• $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$ 可在新基下通过四个电荷为2的任意子编织实现，且位于 $\overset{\sim}{G_2}$ 生成的子群内，确认其物理可实现性。
• 648阶的弗里德曼群 $Fr(162 \times 4)$ 通过矩阵 $O$ 与 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 共轭，$O$ 将标准基 $\{|0\rangle, |2\rangle, |4\rangle\}$ 变换为新基 $\left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$。
• $D(18,1,1;2,1,1)$ 的Blichfeld生成元在 $SU(2)$ Chern-Simons 理论第4级中物理实现为编织和融合操作，且 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 为由 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$ 生成的完整群。
• 在量子比特 $2211$ 上施加单个 $\sigma_2$ 辫子，可实现对 $|1\rangle$ 和 $|3\rangle$ 分量的等幅变换，从而构造出满足干涉协议中无泄漏条件的辅助态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$。
• $F(9,1,1)$ 满足 $F(9,1,1)^{-1} = \overset{\sim}{G_2} t_1$，且因 $t_1 = \overset{\sim}{G_2}^9$，可得 $F(9,1,1) = \overset{\sim}{G_2}^8$，从而确认 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$ 为 $\overset{\sim}{G_2}$ 的幂次，因此物理可实现。