[论文解读] On some properties of enhanced power graph

Sudip Bera, A. K. Bhuniya|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了有限群 $G$ 的增强幂图 $Γ_e(G)$，其定义为：若两个元素属于同一个循环子群，则在图中相连。本文刻画了该图何时为完全图、欧拉图、平面图或满足锥性质，表明 $Γ_e(G)$ 为完全图当且仅当 $G$ 是循环群，为欧拉图当且仅当 $|G|$ 为奇数，并对满足锥性质的阿贝尔群与非阿贝尔 $p$-群进行了分类。

ABSTRACT

Given a group $G$, the enhanced power graph of $G$ denoted by $\mathcal{G}_e(G)$, is the graph with vertex set $G$ and two distinct vertices $x, y$ are edge connected in $\mathcal{G}_e(G)$ if there exists $z\in G $ such that $x=z^m$ and $ y=z^n $, for some $m, n\in \mathbb{N}$. In this article, we characterize the enhanced power graph $\mathcal{G}_e(G)$ of $G$. The graph $\mathcal{G}_e(G)$ is complete if and only if $G$ is cyclic, and $\mathcal{G}_e(G)$ is Eulerian if and only if $|G|$ is odd. We classify all abelian groups and also all non-abelian $p-$groups $G$ for which $\mathcal{G}_e(G)$ satisfies the cone property.

研究动机与目标

• 刻画有限群 $G$ 的增强幂图 $\mathcal{G}_e(G)$ 的群结构特征。
• 确定 $\mathcal{G}_e(G)$ 为完全图、欧拉图、平面图或满足锥性质的条件。
• 分析通过删去恒等元得到的删去增强幂图 $\mathcal{G}_e^*(G)$ 的连通性与结构性质。
• 对满足锥性质的阿贝尔群与非阿贝尔 $p$-群进行分类。
• 给出有限群的完全刻画，使得 $\mathcal{G}_e(G)$ 为二分图、树或星图。

提出的方法

• 定义增强幂图 $\mathcal{G}_e(G)$，其顶点集为 $G$，若存在 $z \in G$ 及 $m,n \in \mathbb{N}$，使得 $x = z^m$，$y = z^n$，则 $x \sim y$。
• 利用群论性质，如元素阶、循环子群与中心化子，分析邻接性与连通性。
• 应用 $\pi_e(G)$ 中最大阶的概念，并利用整除关系研究团结构与非邻接性。
• 证明 $\mathcal{G}_e(G)$ 为完全图当且仅当 $G$ 是循环群，利用所有元素必须位于同一循环子群中的事实。
• 通过元素阶分析环结构：$\mathcal{G}_e(G)$ 包含环当且仅当存在阶 $\geq 3$ 的元素。
• 通过删去恒等元分析删去增强幂图 $\mathcal{G}_e^*(G)$，并利用中心元素与素数阶元素研究其连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，增强幂图 $\mathcal{G}_e(G)$ 为完全图？
• RQ2 对于哪些有限群，$\mathcal{G}_e(G)$ 为欧拉图？
• RQ3 哪些阿贝尔群与非阿贝尔 $p$-群满足 $\mathcal{G}_e(G)$ 的锥性质？
• RQ4 在何种条件下 $\mathcal{G}_e(G)$ 为平面图或二分图？
• RQ5 何种条件可保证删去增强幂图 $\mathcal{G}_e^*(G)$ 的连通性？

主要发现

• $\mathcal{G}_e(G)$ 为完全图当且仅当 $G$ 是循环群。
• $\mathcal{G}_e(G)$ 为欧拉图当且仅当 $|G|$ 为奇数。
• $\mathcal{G}_e(G)$ 为二分图、树或星图当且仅当 $G \cong \mathbb{Z}_2 \times \cdots \times \mathbb{Z}_2$。
• 对于阿贝尔群，$\mathcal{G}_e(G)$ 满足锥性质当且仅当 $G$ 是初等阿贝尔 $2$-群或素数阶循环群的直积。
• 对于非阿贝尔 $p$-群，$\mathcal{G}_e(G)$ 满足锥性质当且仅当 $G$ 是广义四元数群。
• 删去增强幂图 $\mathcal{G}_e^*(G)$ 连通当且仅当 $|\pi(G)| \geq 2$ 且 $|Z(G)| = p^t$ 对某个素数 $p$ 成立，并且对每个非中心的 $p$-元素（阶为 $p$），在 $\mathcal{G}_e^*(G)$ 中存在一个非 $p$-元素与其相邻。