[论文解读] On some properties of the manifolds with skew-symmetric torsion and holonomy SU(n) and Sp(n)

Anna Fino, Gueo Grantcharov|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 16

一句话总结

本文构造了赫尔米特几何中两个猜想的反例：其一是所有超复流形都具有超凯勒-挠（HKT）结构；其二是紧致复流形若一阶陈类为零，则存在具有 SU(n)-全纯性 holonomy 的比斯穆特连接的赫尔米特度量。通过单连通幂零李群的紧致商，作者证明这两个性质在小形变下均不稳定，利用对称化技巧与李代数上的不变结构分析，否定了这两个猜想。

ABSTRACT

In this paper we provide examples of hypercomplex manifolds which do not carry HKT structure. We also prove that the existence of HKT structure is not stable under small deformations. Similarly we provide examples of compact complex manifolds with vanishing first Chern class which do not admit a Hermitian structure with restricted holonomy of its Bismut connection in SU(n). Again we prove that such property is not stable under small deformations.

研究动机与目标

• 否定所有超复流形都具有 HKT 结构的猜想。
• 否定所有一阶陈类为零的紧致复流形都具有 SU(n)-全 holonomy 比斯穆特连接的赫尔米特度量的猜想。
• 证明 HKT 结构与 SU(n)-全 holonomy 度量的存在性在小形变下不具稳定性。
• 通过紧致幂零李群商构造显式例子，其上具有不变几何结构。
• 应用对称化技巧，将存在性问题约化为李代数上的不变结构问题。

提出的方法

• 利用单连通幂零李群 G 的紧致商 Γ\G 构造具有不变几何结构的例子。
• 通过左-右不变体积形式实施对称化，将整体几何问题约化为李代数上的张量与微分形式的不变条件。
• 分析不变赫尔米特度量上比斯穆特连接及其里奇曲率，以确定其何时为零。
• 在某个 2-步尼尔曼ifold 上构造一个 1-参数族的超复结构，以证明 HKT 结构的存在性不具形变稳定性。
• 利用 Iwasawa 流形上存在全纯 (3,0)-形式的事实，将平衡度量与比斯穆特里奇曲率为零联系起来。
• 借助 Dotti、Fino、Salamon 与 Parton 关于不变结构的结果，证明所期望度量的不存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有超复流形是否都具有 HKT 结构？
• RQ2 每个一阶陈类为零的紧致复流形是否都具有 SU(n)-全 holonomy 比斯穆特连接的赫尔米特度量？
• RQ3 HKT 结构的存在性在小超复形变下是否稳定？
• RQ4 具有 SU(n)-全 holonomy 比斯穆特连接的赫尔米特度量的存在性在小复形变下是否稳定？
• RQ5 紧致幂零李群商能否为这些猜想提供反例？

主要发现

• 一个 2-步尼尔曼ifold 拥有一个 1-参数族的超复结构，其中一种具有 HKT 结构，而其他则无，证明 HKT 结构的存在性不具形变稳定性。
• Iwasawa 流形在 1-参数族复结构 J_{s,t} 下，当且仅当 s=0 时，存在具有零比斯穆特里奇曲率的赫尔米特度量。
• 当 s≠0 时，Iwasawa 流形上不存在不变的平衡度量，意味着不存在具有 SU(3)-全 holonomy 比斯穆特连接的赫尔米特度量。
• 文献 [18] 中的猜想——每个紧致复流形若 c₁=0 则存在具有 SU(n)-全 holonomy 比斯穆特连接的赫尔米特度量——是错误的，反例已给出。
• HKT 结构与 SU(n)-全 holonomy 比斯穆特连接的存在性在小形变下不具稳定性，已通过显式结构族得到证明。
• 对称化过程成功地将整体存在性问题约化为李代数上不变结构的存在性问题，从而可应用表示论工具。