[论文解读] On some remarkable congruences between two elliptic curves

Nicolas Billerey|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一对非同源的有理椭圆曲线 E 和 E′，其 17-挠子群作为伽罗华模同构，尽管二者并非彼此的二次扭。通过模形式与模 17 的同余关系，作者验证了 E 和 E′ 的模 17 伽罗华表示的半简化形式同构，且由于在 5 处具有奇点减少，两者均为不可约表示，从而提供了一个罕见的非二次扭情形下的 17-同余曲线实例。

ABSTRACT

We exhibit two non-isogenous rational elliptic curves with $17$-torsion subgroups isomorphic as Galois modules.

研究动机与目标

• 识别并验证一对非同源有理椭圆曲线，其 17-挠子群作为伽罗华模同构。
• 研究模 17 伽罗华表示之间的此类同余关系是否可能出现在非二次扭的情形下。
• 通过探索 p > 17 的情形，测试弗雷-梅祖猜想的边界。
• 对关联模形式的傅里叶系数之间的模 17 同余关系提供计算验证。

提出的方法

• 应用文献 [KO92] 中的命题 4，取 N = 3675 和 N′ = 47775，以分析模 17 的同余关系。
• 验证对于所有满足 l < 3360 且 l ≠ 3,5,7,13 的素数 l，均有 aₗ(E) ≡ aₗ(E′) mod 17。
• 检查条件 a₁₃(E)a₁₃(F) ≡ ±(13+1) mod 17，以确认在素数 13 处的相容性。
• 使用 Sage 软件执行同余关系的计算验证。
• 分析与 E 和 E′ 关联的伽罗华表示 ρ 和 ρ′，通过在 5 处的不良加法减少来确定不可约性。
• 确认模 17 表示的像不包含于任何 Borel 子群中，从而表明不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个非同源有理椭圆曲线能否具有作为伽罗华模同构的 17-挠子群？
• RQ2 是否存在非二次扭但彼此 17-同余的椭圆曲线？
• RQ3 导子与判别式在决定此类同余关系中起什么作用？
• RQ4 此类同余关系是否可推广至 p > 17 的素数？这对弗雷-梅祖猜想有何含义？

主要发现

• 尽管 E 和 E′ 并非同源，其椭圆曲线 E 和 E′ 的 17-挠子群作为伽罗华模同构。
• 通过模 17 的傅里叶系数同余关系，确认了 E 和 E′ 的模 17 伽罗华表示具有同构的半简化形式。
• 由于在 5 处具有加法减少，导子指数为 2，且循环的弗罗贝尼乌斯群 Φ₅ 的阶为 6，两个伽罗华表示均为不可约。
• 曲线 E 和 E′ 并非彼此的二次扭，且此对是导子小于 360,000 的仅八个此类已知对之一。
• 目前尚无已知例子表明存在两个非同源有理椭圆曲线，其 p-挠子群作为伽罗华模同构，且 p > 17。