[论文解读] On some representations of degenerate affine Hecke algebras of type $BC_{n}$

Xiaoguang Ma|ArXiv.org|Oct 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过李理论函子 $F_{n,p,\nu}$ 将单位群主系数模的表示映射到类型为 $BC_n$ 的退化仿射 Hecke 代数（dAHA）的有限维表示，研究了此类代数的表示。该文计算了此类模的像的维数，构造了交换生成元 $\{y_i\}$ 的公共特征向量，并通过显式特征值公式完全描述了 dAHA 模的结构，尤其在秩一情形下利用中心特征标进行分析。

ABSTRACT

Let G=U(p,q) and K=U(p)xU(q). In arXiv:0801.1530, the authors construct a functor from the category of Harish-Chandra modules for the pair (G,K) to the category of representations of the degenerate affine Hecke algebra of type B_n. In this paper, we study the image of the principal series modules of G under this functor. We describe the dAHA module structure of the image by constructing a family of common eigenvectors of {y_i}. In the rank 1 case, we write down an explicit formula for the generator y_{1} in terms of central elements of U(g) and calculate the eigenvalue of y_{1} by using the central characters.

研究动机与目标

• 计算主系数模在函子 $F_{n,p,\nu}$ 作用下从 $U(p,q)$-模映射到类型为 $BC_n$ 的有限维 dAHA 表示时的像的维数。
• 在类型为 $BC_n$ 的 dAHA 中显式构造其交换生成元 $\{y_i\}$ 的公共特征向量族。
• 通过显式特征值计算，完全确定 $F_{n,p,\nu}(H_{\pi\otimes\nu})$ 的 dAHA 模结构。
• 在秩一情形下，利用中心特征标，给出生成元 $y_1$ 关于 $U(\mathfrak{g})$ 中心元素的显式表达式。

提出的方法

• 使用李理论函子 $F_{n,p,\nu}(M) = (M \otimes (\mathbb{C}^N)^{\otimes n})^{\mathfrak{k}^0, \mu}$，将 $\mathfrak{gl}_N$-模映射到类型为 $BC_n$ 的有限维 dAHA 表示。
• 应用 Iwasawa 分解与 Harish-Chandra 映射，分析 $U(p,q)$ 的主系数模 $H_{\pi\otimes\nu}$ 上 Casimir 算子的作用。
• 通过 Harish-Chandra 同构，将 $y_i$ 的特征值表达为中心特征标的函数，从而计算其特征值。
• 在特殊情形下，利用权参数 $\lambda$、$\nu$、$\mu$ 和 $\tau$，推导出 $c_2 = \mathrm{tr}(y_1^2)$ 与 $c_3 = \mathrm{tr}(y_1^3)$ 的显式公式。
• 通过秩一情形推导出在两种不同参数区域下，$y_1^2 = \nu_k^2/4$ 与 $y_1^2 = ((q-p+\mu(p+q))/2)^2$。
• 通过将计算得到的 $y_1^2$ 与模结构中来自定理 4.7 的 $\lambda_{1,1}^2$ 进行比对，验证了特征值公式的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 函子 $F_{n,p,\mu}$ 将主系数模 $H_{\pi\otimes\nu}$ 映射到类型为 $BC_n$ 的 dAHA 时，其像的维数是多少？
• RQ2 是否可以在 $F_{n,p,\mu}$ 的像中显式构造出 dAHA 交换生成元 $\{y_i\}$ 的公共特征向量族？
• RQ3 $U(p,q)$ 的主系数模的 $F_{n,p,\mu}(H_{\pi\otimes\nu})$ 的完整 dAHA 模结构是什么？
• RQ4 在秩一 dAHA 中，生成元 $y_1$ 的作用能否用 $U(\mathfrak{gl}_N)$ 中心元素的表达式显式表示？
• RQ5 通过中心特征标计算出的 $y_1$ 的特征值是否与定理 4.7 所预测的模结构一致？

主要发现

• 本文框架下显式计算出了主系数模 $H_{\pi\otimes\nu}$ 在 $F_{n,p,\mu}$ 作用下像的维数。
• 利用李理论函子与权参数，构造了类型为 $BC_n$ 的 dAHA 生成元 $\{y_i\}$ 的公共特征向量族。
• 定理 4.7 完全描述了 $F_{n,p,\mu}(H_{\pi\otimes\nu})$ 的 dAHA 模结构，明确了 $y_i$ 在像上的作用。
• 在秩一情形下，$y_1$ 的特征值为 $y_1^2 = \nu_k^2/4$（情形 1），与模结构中得到的特征值 $\lambda_{1,1}^2$ 一致。
• 在情形 2 中，$y_1^2$ 的特征值为 $((q-p+\mu(p+q))/2)^2$，与定理 4.7 所预测的 $\lambda_{1,1}^2$ 一致。
• 在两种参数区域下，$c_2 = \mathrm{tr}(y_1^2)$ 与 $c_3 = \mathrm{tr}(y_1^3)$ 的公式被显式推导，与模的特征值结构一致。