[论文解读] On Some Smooth Symmetric Transonic Flows with Nonzero Angular Velocity and Vorticity

Shangkun Weng, Zhouping Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用 4

一句话总结

该论文通过形变-旋度分解和专用于线性化混合型方程的乘子，证明了在同心圆柱域中存在且唯一存在具有非零角速度和涡度的光滑、轴对称的跨音速螺旋流。关键结果是声学面非异常且非特征退化，其形状取决于对称性，形成圆柱面或轴对称面。

ABSTRACT

This paper concerns the structural stability of smooth cylindrically symmetric transonic flows in a concentric cylinder. Both cylindrical and axi-symmetric perturbations are considered. The governing system here is of mixed elliptic-hyperbolic and changes type and the suitable formulation of boundary conditions at the boundaries is of great importance. First, we establish the existence and uniqueness of smooth cylindrical transonic spiral solutions with nonzero angular velocity and vorticity which are close to the background transonic flow with small perturbations of the Bernoulli's function and the entropy at the outer cylinder and the flow angles at both the inner and outer cylinders independent of the symmetric axis, and it is shown that in this case, the sonic points of the flow are nonexceptional and noncharacteristically degenerate, and form a cylindrical surface. Second, we also prove the existence and uniqueness of axi-symmetric smooth transonic rotational flows which are adjacent to the background transonic flow, whose sonic points form an axi-symmetric surface. The key elements in our analysis are to utilize the deformation-curl decomposition for the steady Euler system introduced in \cite{WengXin19} to deal with the hyperbolicity in subsonic regions and to find an appropriate multiplier for the linearized second order mixed type equations which are crucial to identify the suitable boundary conditions and to yield the important basic energy estimates.

研究动机与目标

• 研究具有非零角速度和涡度的光滑跨音速流在同心圆柱域中的结构稳定性。
• 在伯努利函数和流角的小扰动下，建立轴对称跨音速螺旋流的存在性与唯一性。
• 分析声学面的几何与解析性质，确保其非异常且非特征退化。
• 将分析扩展至具有类似结构稳定性的轴对称跨音速旋转流。
• 通过新型乘子法确定适当的边界条件，用于线性化混合型方程。

提出的方法

• 对定常欧拉系统使用形变-旋度分解，以处理亚音速区域的双曲性。
• 为线性化二阶混合型方程引入特定乘子，以推导关键能量估计。
• 应用速度势方法，并在圆柱域中考虑单侧边界值问题，以模拟跨音速流。
• 使用爆破论证和Arzelà-Ascoli定理，分析解在无穷远处的渐近行为。
• 结合最大值原理与障碍函数，证明在空间无穷远处梯度趋于零。
• 在合适的函数空间中应用压缩映射原理，证明解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小扰动下，具有非零角速度和涡度的光滑、轴对称跨音速螺旋流是否能存在且唯一？
• RQ2 此类流中声学面的几何与解析性质是什么，特别是其退化性如何？
• RQ3 内、外圆柱面上的边界条件如何影响跨音速解的存在性与正则性？
• RQ4 能否通过源自定制乘子的能量估计证明这些流的结构稳定性？
• RQ5 具有类似性质的轴对称跨音速旋转流是否存在，并保持结构稳定性？

主要发现

• 在边界处伯努利函数和流角的小扰动下，具有非零角速度和涡度的光滑、轴对称跨音速螺旋流存在且唯一。
• 此类流的声学面非异常且非特征退化，形成圆柱面。
• 对于轴对称跨音速旋转流，声学面为轴对称，且同样非异常、非特征退化。
• 解满足渐近衰减：当 $x_3 \to \pm\infty$ 时，速度扰动趋于零，确保物理一致性。
• 通过乘子法导出的能量估计在确定正确边界条件及证明唯一性方面至关重要。
• 在 Hölder 空间框架下的压缩映射论证确认了满足所有结构与正则性条件的唯一不动点解的存在。