[论文解读] On Some Stratifications of Affine Deligne-Lusztig Varieties for SL_3

Boris Zbarsky|ArXiv.org|May 31, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文研究了 Iwahori 子群在 $SL_3$ 的仿射 Deligne-Lusztig 簇的 Borel-Moore 上同调上的作用，表明子群 $A(\mathfrak{o}_F)$ 通过构造在 $A(\mathfrak{o}_F)$ 下保持不变的分层并将其作用延拓至连通群 $A(\mathfrak{o}_L)$，在上同调上作用平凡。关键结果是 $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ 在上同调上的表示通过分层的置换实现，且 $A(\mathfrak{o}_F)$ 的作用为平凡。

ABSTRACT

Let L be k((ε)), where k is an algebraic closure of a finite field with q elements and εis an indeterminate, and let σbe the Frobenius automorphism. Let G be a split connected reductive group over the fixed field of σin L, and let I be the Iwahori subgroup of G(L) associated to a given Borel subgroup of G. Let W be the extended affine Weyl group of G. Given x in W and b in G(L), we have some subgroup of G(L) that acts on the affine Deligne-Lusztig variety X_x(b) = {gI in G(L)/I : g^{-1}bσ(g) is in IxI} and hence a representation of this subgroup on the Borel-Moore homology of the variety. We investigate this representation for certain b in the cases when G is SL_2 and G is SL_3.

研究动机与目标

• 理解群 $A(F) \cong \mathbb{Z}^{n-1} \times A(\mathfrak{o}_F)$ 在 $G=SL_3$ 的仿射 Deligne-Lusztig 簇 $X_x(\epsilon^\nu)$ 的 Borel-Moore 上同调上的表示。
• 确定子群 $A(\mathfrak{o}_F)$ 在此上同调上作用平凡的条件，尤其在更大的群 $A(\mathfrak{o}_L)$ 不通过左乘作用时。
• 构造 $X_x(\epsilon^\nu)$ 的分层，将其划分为在 $A(\mathfrak{o}_F)$ 作用下不变的互不相交闭子集，从而实现向 $A(\mathfrak{o}_L)$ 的作用延拓。
• 证明上同调表示通过 $\mathbb{Z}^{n-1}$ 实现，且作用表现为各分层上同调空间的置换。
• 将 $SL_2$ 情形中的技术（即 $A(\mathfrak{o}_L)$-作用蕴含平凡性）推广至 $SL_3$，通过分层方法实现。

提出的方法

• 利用余子式（包括 $1\times1$ 余子式）的赋值发展判别准则，以确定属于 Iwahori 双陪集 $IxI$ 的成员资格。
• 提出一种方法，基于矩阵元素和赋值条件，计算满足 $g \in w^{-1}U_1 w x I$ 的 $x \in \widetilde{W}$。
• 构造 $X_x(\epsilon^\nu)$ 的分层，将其划分为在 $A(\mathfrak{o}_F)$-作用下不变的互不相交闭子集。
• 将每个分层上的 $A(\mathfrak{o}_F)$-作用延拓至连通群 $A(\mathfrak{o}_L)$，从而推出上同调作用平凡。
• 使用定理 6 验证：当 $x=\epsilon^{(d,e,f)}$ 且 $f \leq e \leq d$，$i>j>k$，$i+j+k=0$ 时，仅当 $w=1$ 时 $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 非空。
• 应用定理 1 中的赋值条件，确定 $h \in IxI$ 的必要充分条件，涉及 $\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$，$\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$，以及 $\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，子群 $A(\mathfrak{o}_F)$ 在 $SL_3$ 的 $X_x(\epsilon^\nu)$ 的 Borel-Moore 上同调上作用平凡？
• RQ2 即使 $A(\mathfrak{o}_L)$ 不通过左乘作用，能否通过分层将 $A(\mathfrak{o}_F)$ 在 $X_x(\epsilon^\nu)$ 上的作用延拓至 $A(\mathfrak{o}_L)$？
• RQ3 对于哪些 $x \in \widetilde{W}$ 和 $\nu \in \mathbb{Z}^3$ 满足 $i>j>k$，$i+j+k=0$，有 $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 仅当 $w=1$ 时非空？
• RQ4 矩阵余子式的赋值条件如何决定 $SL_3$ 中 $IxI$ 的成员资格？
• RQ5 $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ 在 $X_x(\epsilon^\nu)$ 上同调上的表示结构为何？其如何通过 $\mathbb{Z}^2$ 实现？

主要发现

• 子群 $A(\mathfrak{o}_F)$ 在 $SL_3$ 的 $X_x(\epsilon^\nu)$ 的 Borel-Moore 上同调上作用平凡，因为其作用可延拓至连通群 $A(\mathfrak{o}_L)$。
• 当 $x = \epsilon^{(d,e,f)}$ 且 $f \leq e \leq d$，$i>j>k$，$i+j+k=0$ 时，仅当 $w=1$ 时 $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 非空。
• $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ 在上同调上的作用通过互不相交闭分层的上同调空间置换实现，且 $A(\mathfrak{o}_F)$ 的贡献为平凡。
• $h \in IxI$ 的必要充分条件包括 $\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$，$\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$，以及 $\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$，这些条件由定理 1 推导得出。
• 与 $g = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 关联的六边形所有顶点重合，确认了定理 6 的适用性。
• 在 $f=k$，$w=1$，$d=j$，$e=i$ 的情形下，$h \in IxI$ 要求 $\mathop{\mathrm{val}}(a) > 0$，$\mathop{\mathrm{val}}(c) > 0$，$\mathop{\mathrm{val}}(b) > 0$，且可通过右乘 $I$-作用消去 $a,b,c$。