[论文解读] On some subclasses of m-fold symmetric bi-univalent functions

Şahsene Altınkaya, Sibel Yalçın|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文在单位圆内引入了 m 重对称双单值函数的两个新子类 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 和 $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $。通过使用次序关系和利用具有正实部函数的引理进行系数估计，推导出初始系数 $ |a_{m+1}| $ 和 $ |a_{2m+1}| $ 的精确上界，推广了以往关于双单值函数的结论，并将系数估计扩展至含参数 $ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \lambda $ 的 m 重对称情形。主要贡献在于给出了依赖于 $ m $、$ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \lambda $ 的显式上界，当 $ \lambda = 1 $ 时可退化为已知结果。

ABSTRACT

In this work, we introduce two new subclasses S_{Σ_{m}}(α,λ) and S_{Σ_{m}}(\b{eta},λ) of Σ_{m} consisting of analytic and m-fold symmetric bi-univalent functions in the open unit disk U. Furthermore, for functions in each of the subclasses introduced in this paper, we obtain the coefficient bounds for |a_{m+1}| and |a_{2m+1}|.

研究动机与目标

• 通过聚焦于 m 重对称情形，解决对解析双单值函数一般系数上界 $ |a_n| $（特别是 $ n \geq 4 $）估计的开放问题。
• 将双单值函数的研究扩展至单位圆内的 m 重对称解析函数，推广经典的一重对称情形下的结果。
• 基于函数及其逆函数的对数导数的次序条件，引入两个新子类 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 和 $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $。
• 在这些新子类中建立 $ |a_{m+1}| $ 和 $ |a_{2m+1}| $ 的系数估计，提供依赖于 $ m $、$ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \lambda $ 的定量上界。
• 通过引入对称性与参数化次序条件，推广并统一以往关于双单值函数系数上界的成果。

提出的方法

• 利用函数 $ \frac{zf'(z)}{f(z)} $ 及其 $ \lambda $ 次幂的次序条件，定义新子类 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 和 $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $，确保 $ f $ 及其逆函数 $ f^{-1} $ 均满足角条件或实部条件。
• 使用 Srivastava 等人 [17] 推导出的 $ f(z) = z + \sum_{k=1}^\infty a_{mk+1} z^{mk+1} $ 及其逆函数 $ g(w) = w - a_{m+1}w^{m+1} + \cdots $ 的级数展开，将系数表示为逆函数泰勒系数的形式。
• 应用引理 1，该引理控制单位圆内解析函数正实部系数的上界，以控制 $ p_n $、$ q_n $ 以及组合项如 $ p_{2m} + q_{2m} $、$ p_{2m} - q_{2m} $ 和 $ p_m^2 + q_m^2 $。
• 推导关键方程 (19)–(22)，将系数 $ a_{m+1} $、$ a_{2m+1} $ 与相关正实部函数的系数 $ p_m $、$ p_{2m t} $、$ q_m $、$ q_{2m} $ 联系起来。
• 利用逆函数系数对称性得出的 $ p_m = -q_m $ 关系，消去交叉项，得到仅含 $ p_m^2 + q_m^2 $ 的 $ |a_{m+1}|^2 $ 的二次表达式。
• 应用三角不等式与引理 1 的界，获得 $ |a_{m+1}| $ 和 $ |a_{2m+1}| $ 的显式上界，最终表达式依赖于 $ m $、$ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \lambda $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 m 重对称双单值函数的新子类 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 中，$ |a_{m+1}| $ 和 $ |a_{2m+1}| $ 的系数上界是什么？
• RQ2 $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $ 中 $ |a_{m+1}| $ 和 $ |a_{2m+1}| $ 的系数估计如何依赖于参数 $ \beta $ 和 $ \lambda $？其结果如何推广已知结论？
• RQ3 当 $ \lambda = 1 $ 时，系数上界如何变化？它们与先前研究的类 $ S_{\Sigma_m}^\alpha $ 和 $ S_{\Sigma_m}^\beta $ 的关系是什么？
• RQ4 次序关系与正实部函数理论的方法能否有效应用于推导 m 重对称双单值函数的精确系数估计？
• RQ5 所推导的上界与文献中现有的非精确估计相比如何，特别是针对高阶系数 $ |a_n| $（$ n \geq 4 $）？

主要发现

• 在类 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 中，$ |a_{m+1}| $ 的系数上界为 $ \left|a_{m+1}\right| \leq \frac{2\lambda}{m} \sqrt{\frac{2(1-\alpha)}{2\lambda^2 + \lambda + 1}} $，提供了依赖于 $ m $、$ \alpha $ 和 $ \lambda $ 的精确估计。
• 在 $ S_{\Sigma_m}(\alpha,\lambda) $ 中，$ |a_{2m+1}| $ 的系数上界为 $ \left|a_{2m+1}\right| \leq \frac{8(m+1)\lambda^2(1-\alpha)^2}{m^2(1+\lambda)^2} + \frac{2\lambda(1-\alpha)}{m(1+\lambda)} $，通过相减逆函数系数方程推导得出。
• 对于类 $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $，$ |a_{m+1}| $ 的上界为 $ \left|a_{m+1}\right| \leq \frac{2\lambda}{m} \sqrt{\frac{2(1-\beta)}{2\lambda^2 + \lambda + 1}} $，显示出对 $ \beta $ 和 $ \lambda $ 的对称依赖关系。
• $ S_{\Sigma_m}(\beta,\lambda) $ 中 $ |a_{2m+1}| $ 的上界为 $ \left|a_{2m+1}\right| \leq \frac{8(m+1)\lambda^2(1-\beta)^2}{m^2(1+\lambda)^2} + \frac{2\lambda(1-\beta)}{m(1+\lambda)} $，形式与 $ \alpha $-情形相同，仅将 $ \alpha $ 替换为 $ \beta $。
• 当 $ \lambda = 1 $ 时，上界退化为已知结果：对于 $ S_{\Sigma_m}^\alpha $，有 $ |a_{m+1}| \leq \frac{2\alpha}{m\sqrt{1+\alpha}} $ 且 $ |a_{2m+1}| \leq \frac{\alpha}{m} + \frac{2(m+1)\alpha^2}{m^2} $，与先前工作一致。
• 令 $ m = 1 $ 且 $ \lambda = 1 $ 时，可恢复 Murugundan 等人 [12] 对 $ S_\Sigma^*(\alpha) $ 和 $ S_\Sigma^*(\beta) $ 的经典系数上界，即 $ |a_2| \leq \frac{2\alpha}{\sqrt{1+\alpha}} $ 与 $ |a_3| \leq 4\alpha^2 + \alpha $，验证了推广的有效性。