[论文解读] On Some Topological Concepts of TVS-Cone Metric Spaces and Fixed Point Theory Remarks

Thabet Abdeljawad, Shahram Rezapour|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文证明了通过非线性标量化，每个TVS-锥度量空间都与标准度量空间拓扑同构，从而可将经典度量空间中的不动点定理转移至TVS-锥度量空间。本文证明了此类空间在无需锥正规性假设下仍为第一可数与仿紧空间，并表明某些非线性压缩条件可在度量框架下等价分析，尽管部分不动点结果在原始TVS-锥框架下仍具非平凡性。

ABSTRACT

We prove that every TVS-cone metric space (i.e a cone metric space over a locally convex topological vector space $E$) is first countable paracompact topological space and by using Du's results in " [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, {Nonlinear Analysis},72(5),2259-2261 (2010)]", we conclude that every TVS-cone metric space is topologically isomorphic to a topological metric space. We also show how to construct comparable metric topologies to TVS-cone metric topologies by using the system of seminorms generating the topology of the locally convex topological vector space $E$. When $E$ is a Banach space these metric topologies turn to be equivalent to the original TVS-cone metric topologies. Even though, we remark that there are still some fixed point theorems to deal nontrivially with them in TVS-cone metric spaces. The nonlinear scalarization is used also to prove some fixed point theorems with nonlinear contractive conditions.

研究动机与目标

• 建立TVS-锥度量空间的拓扑结构，证明其在不假设锥正规性的情况下为第一可数与仿紧空间。
• 通过非线性标量化，证明TVS-锥度量空间与标准度量空间拓扑同构。
• 利用生成底层空间E的局部凸拓扑的半范数系，构造等价的度量拓扑。
• 识别出在通过标量化将不动点定理从TVS-锥度量空间简化至标准度量空间时，仍无法被平凡化的情形。

提出的方法

• 使用Du的非线性标量化函数ξₑ: P → ℝ₊，将取值于锥的度量映射为实数值度量。
• 将标量化应用于证明TVS-锥度量空间与标准度量空间之间的拓扑同构。
• 利用生成局部凸TVS E的拓扑的半范数系S，构造等价的度量拓扑。
• 利用锥的内部性质及标量化函数的连续性，保持收敛性与压缩行为。
• 将非线性压缩条件φ: P → P通过标量化转化为实数值压缩条件φ: ℝ₊ → ℝ₊。
• 在适当条件下，利用度量空间与TVS-锥度量空间中不动点结果的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个TVS-锥度量空间是否都能通过非线性标量化拓扑嵌入标准度量空间？
• RQ2 在何种条件下，非线性标量化函数ξₑ足以将TVS-锥度量空间中的不动点问题简化为标准度量空间？
• RQ3 是否存在TVS-锥度量空间中的不动点定理，即使空间拓扑同构于标准度量空间，也无法通过标量化被平凡化？
• RQ4 生成空间E拓扑的半范数在TVS-锥度量空间上构造等价度量拓扑的过程中起何作用？
• RQ5 在不假设锥的单调性或正规性条件下，TVS-锥度量空间中的Meir-Keeler型或拟压缩型定理能否被推广？

主要发现

• 每个TVS-锥度量空间都是第一可数与仿紧的拓扑空间，即使不假设锥正规性。
• TVS-锥度量空间通过非线性标量化函数ξₑ与标准度量空间拓扑同构。
• 当E为巴拿赫空间时，由半范数诱导的度量拓扑与原始TVS-锥度量拓扑等价。
• 满足ξₑ(φ(e)) < 1的非线性压缩条件φ: P → P（且φ递增）可转化为满足φ(t) < t的实数值压缩。
• TVS-锥度量空间中存在无法通过标量化简化至标准度量空间的不动点定理，例如满足d(Tx,Ty) ≤ d(x,y) − φ(d(x,y))的条件。
• 对于依赖于非拓扑性质的某些压缩条件（如要求锥正则性或特定序结构），非线性标量化方法失效。