[论文解读] ON SOME UNIVERSAL σ-FINITE MEASURES AND SOME EXTENSIONS OF DOOB'S OPTIONAL STOPPING THEOREM

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 15

一句话总结

本文提出了一种针对满足技术条件的类(Σ)上鞅的一般构造方法，定义了一个σ-有限测度Q，使得对所有t ≥ 0和Λt ∈ Ft，有Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]，其中g为吸收时零的最后 hitting 时间。该结果通过证明该等式对有界停时也成立，将杜布的可选停时定理进行了推广，解决了马丹、罗因内特与约尔提出的问题，即关于布莱克-斯科尔斯公式与最后通过时间之间的联系。

ABSTRACT

Abstract. In this paper, we associate, to any submartingale of class (Σ), defined on a filtered probability space (Ω, F, P, (Ft)t≥0), which satisfies some technical conditions, a σ-finite measure Q on (Ω, F), such that for all t ≥ 0, and for all events Λt ∈ Ft: Q[Λt, g ≤ t] = EP[1ΛtXt] where g is the last hitting time of zero of the process X. This measure Q has already been defined in several particular cases, some of them are involved in the study of Brownian penalisation, and others are related with problems in mathematical finance. More precisely, the existence of Q in the general case solves a problem stated by D. Madan, B. Roynette and M. Yor, in a paper studying the link between Black-Scholes formula and last passage times of certain submartingales. Moreover, the equality defining Q remains true if one replaces the fixed time t by any bounded stopping time. This generalization can be viewed as an extension of Doob’s optional stopping theorem. 1.

研究动机与目标

• 为满足技术条件的类(Σ)上鞅，在(Ω, F)上构造一个σ-有限测度Q。
• 建立对所有t ≥ 0和Λt ∈ Ft成立的恒等式Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]，其中g为上鞅X对零的最后 hitting 时间。
• 将该恒等式推广至有界停时，从而推广杜布的可选停时定理。
• 解决马丹、罗因内特与约尔提出的关于布莱克-斯科尔斯公式与上鞅最后通过时间之间联系的开放问题。
• 统一并推广与布朗运动惩罚及数学金融相关的特殊情形下Q的已有构造。

提出的方法

• 通过恒等式Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]，在(Ω, F)上定义σ-有限测度Q，其中对所有t ≥ 0和Λt ∈ Ft成立。
• 利用上鞅X对零的最后 hitting 时间g，将测度Q在时间区间至g内进行结构化构造。
• 在类(Σ)上鞅的技术条件下，验证Q的良定义性与σ-有限性。
• 将恒等式从固定时间t推广至有界停时τ，证明Q[Λτ, g ≤ τ] = E^P[1_Λτ Xτ]。
• 利用上鞅的性质与可选抽样技术，验证该推广的正确性。
• 将结果应用于解决文献中关于布莱克-斯科尔斯公式与最后通过时间之间关系的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地为任意满足技术条件的类(Σ)上鞅构造一个σ-有限测度Q，使得对所有t ≥ 0和Λt ∈ Ft，有Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]？
• RQ2 定义Q的恒等式是否可从固定时间推广至有界停时，从而推广杜布的可选停时定理？
• RQ3 该构造如何解决马丹、罗因内特与约尔提出的关于布莱克-斯科尔斯公式与上鞅最后通过时间之间关系的开放问题？
• RQ4 零的最后 hitting 时间g在样本空间上定义测度Q的过程中起什么作用？
• RQ5 该一般构造在何种方式下统一了布朗运动惩罚与数学金融领域中先前的结果？

主要发现

• 在(Ω, F)上构造了一个σ-有限测度Q，使得对所有t ≥ 0和Λt ∈ Ft，有Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]，其中g为上鞅X对零的最后 hitting 时间。
• 当固定时间t被替换为任意有界停时τ时，定义Q的恒等式依然成立，从而推广了杜布的可选停时定理。
• 该构造解决了马丹、罗因内特与约尔提出的关于布莱克-斯科尔斯公式与上鞅最后通过时间之间关系的开放问题。
• 测度Q推广了先前在特殊情形下的已知构造，包括布朗运动惩罚与数学金融中出现的情形。
• 该结果建立了一个严谨的测度论框架，将上鞅行为、最后通过时间与金融定价公式联系起来。
• 该方法为通过σ-有限测度分析类(Σ)上鞅提供了一种统一方法，增强了随机过程分析中的工具。