[论文解读] On some universal Morse-Sard type Theorem

Adele Ferone, Mikhail V. Korobkov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文建立了一个适用于 Hölder 和 Sobolev 映射的通用 Morse-Sard 型定理，证明了当 $ v \in C^{k,\alpha} $ 或 $ W^{k}_p $ 且 $ p = \max(1, n/k) $ 时，几乎每个点在 $ m $-临界集下的原像的 $ \mathcal{H}^\mu $-测度为零，其中 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $。该结果统一了经典结果与 Dubovitskiïu´- Federer 定理，并通过使用 $ N $-性质和熵估计将它们推广到低正则性情形。

ABSTRACT

The classical Morse--Sard theorem claims that for a mapping $v:\mathbb R^n o\mathbb R^{m+1}$ of class $C^k$ the measure of critical values $v(Z_{v,m})$ is zero under condition $k\ge n-m$. Here the critical set, or $m$-critical set is defined as $Z_{v,m} = \{ x \in \mathbb R^n : \, { m rank}\, abla v(x)\le m \}$. Further Dubovitski\uı in 1957 and independently Federer and Dubovitski\uı in 1967 found some elegant extensions of this theorem to the case of other (e.g., lower) smoothness assumptions. They also established the sharpness of their results within the $C^k$ category. Here we formulate and prove a extit{bridge theorem} that includes all the above results as particular cases: namely, if a function $v:\mathbb R^n o\mathbb R^d$ belongs to the Holder class $C^{k,α}$, $0\leα\le1$, then for every $q>m$ the identity $$\mathcal H^μ(Z_{v,m}\cap v^{-1}(y))=0$$ holds for $\mathcal H^q$-almost all $y\in\mathbb R^d$, where $μ=n-m-(k+α)(q-m)$. The result is new even for the classical $C^k$-case (when $α=0$); a similar result is established for the Sobolev classes of mappings $W^k_p(\mathbb R^n,\mathbb R^d)$ with minimal integrability assumptions $p=\max(1,n/k)$, i.e., it guarantees in general only the continuity (not everywhere differentiability) of a mapping. However, using some $N$-properties for Sobolev mappings, established in our previous paper, we obtained that the sets of nondifferentiability points of Sobolev mappings are fortunately negligible in the above bridge theorem. We cover also the case of fractional Sobolev spaces. The proofs of the most results are based on our previous joint papers with J. Bourgain and J. Kristensen (2013, 2015).

研究动机与目标

• 将经典的 Morse-Sard、Dubovitskiïu´ 和 Federer 定理统一并推广到一个适用于光滑性较低的映射的统一框架中。
• 在最小可积性假设下，为 Hölder 和 Sobolev 映射在临界集下的原像建立精确的测度估计。
• 证明在广义 Morse-Sard 定理的背景下，Sobolev 映射中不可微点集在测度论上是可忽略的。
• 通过使用深层分析与几何工具，将理论扩展至分数阶 Sobolev 空间和 Bessel 位势空间。

提出的方法

• 通过参数 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $ 构造一个桥梁定理，将经典的 $ C^k $、Hölder 类型的 $ C^{k,\alpha} $ 和 Sobolev 类型的 $ W^k_p $ 设置进行插值。
• 利用 Sobolev 映射的 $ N $-性质，证明不可微点集的 $ \mathcal{H}^{\tau_*} $-测度为零，其中 $ \tau_* = n - k + 1 $。
• 应用 Y. Yomdin 的多项式在近临界值处的熵估计，依赖代数几何技术。
• 通过多项式逼近和极大函数技术，对 $ n $-维区间 $ Q $ 建立 $ Z'_{v} \cap Q $ 测度的统一估计。
• 通过延拓定理和对 $ \nabla v_Q $ 的极大函数界，为 $ W^k_1 $-映射建立基于 $ L^1 $ 的估计。
• 改编并优化与 J. Bourgain 和 J. Kristensen（2013, 2015）先前合作工作的技术，以处理极限可积性情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Morse-Sard 定理能否推广至正则性最低的映射，如 $ C^{k,\alpha} $ 或 $ W^k_p $ 且 $ p = \max(1, n/k) $？
• RQ2 对于 $ \mathcal{H}^q $-几乎每个 $ y \in \mathbb{R}^d $，原像 $ Z_{v,m} \cap v^{-1}(y) $ 的精确 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 在临界值分析的测度论背景下，如何控制 Sobolev 映射中不可微点集的测度？
• RQ4 是否存在一个统一框架，使得经典 Morse-Sard、Dubovitskiïu´ 和 Federer 定理均为其特例？
• RQ5 能否利用代数几何中的熵估计，为低正则性情形下的临界集导出精确的测度界？

主要发现

• 对于 $ v \in C^{k,\alpha}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $，对 $ \mathcal{H}^q $-几乎每个 $ y \in {\mathbb{R}}^d $，有 $ \mathcal{H}^\mu $-测度 $ Z_{v,m} \cap v^{-1}(y) $ 为零，其中 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $。
• 即使在经典 $ C^k $-情形（即 $ \alpha = 0 $）下，该结果也是新的，提供了一个统一框架，使得 Morse-Sard 和 Dubovitskiïu´-Federer 定理均为其特例。
• 对于 $ W^k_1({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 且 $ k \geq n $，不可微点集 $ A_v $ 满足 $ \mathcal{H}^{n-k+1}(A_v) = 0 $，因此在测度论分析中可忽略。
• 在极限情形 $ p = 1 $ 下，当 $ k > n $ 时，有估计 $ \Phi(Z'_{v} \cap Q) \leq C \sigma^{q-m} r^{q + \mu + (k-1-n)(q-m)} $，其中 $ \sigma = \|\nabla^k v\|_{L_1(Q)} $。
• 当 $ k = n $ 时，在 $ q + \mu \geq 1 $ 的条件下，有估计 $ \Phi(Z'_{v} \cap Q) \leq C (\sigma^q r^\mu + \sigma^{q-m} r^{\mu + m}) $。
• 利用 Yomdin 对多项式在近临界值处的熵估计，可对近临界值的测度实现精确控制，这对低正则性情形下的证明至关重要。