[论文解读] On Some Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers for Quadrilateral

Janusz Dybizbański, Tomasz Dzido+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文确定了四色二分Ramsey数关于四边形的精确值，证明了 $ b_4(2) = 19 $，并建立了 $ b_k(2) $ 的新界，包括 $ 26 \ leq b_5(2) \ leq 28 $。通过利用射影平面和组合设计的构造方法，本文计算出了 $ n \leq 21 $ 时的精确Zarankiewicz数 $ z(n) $，目前首个未解问题出现在 $ n = 22 $。

ABSTRACT

The Zarankiewicz number $z(m,n;s,t)$ is the maximum number of edges in a subgraph of $K_{m,n}$ that does not contain $K_{s,t}$ as a subgraph. The bipartite Ramsey number $b(n_1, \\cdots, n_k)$ is the least positive integer $b$ such that any coloring of the edges of $K_{b,b}$ with $k$ colors will result in a monochromatic copy of $K_{n_i,n_i}$ in the $i$-th color, for some $i$, $1 \\le i \\le k$. If $n_i=m$ for all $i$, then we denote this number by $b_k(m)$. In this paper we obtain the exact values of some Zarankiewicz numbers for quadrilateral ($s=t=2$), and we derive new bounds for diagonal multicolor bipartite Ramsey numbers avoiding quadrilateral. In particular, we prove that $b_4(2)=19$, and establish new general lower and upper bounds on $b_k(2)$.

研究动机与目标

• 通过利用极值图构造方法，确定小规模 $ n $ 下Zarankiewicz数 $ z(n) $ 的精确值，特别是 $ n \leq 21 $ 的情况。
• 计算四色二分Ramsey数 $ b_4(2) $ 的精确值，解决该序列中此前未解的第一个问题。
• 推导多色二分Ramsey数 $ b_k(2) $ 的新一般下界和上界，特别是针对 $ k = 5 $ 的情况，其中 $ 26 \leq b_5(2) \leq 28 $。
• 将已知的射影平面极值图构造方法扩展至拟射影构型，以获得 $ n = q^2 + q + 1 - h $，$ h \leq 4 $ 时 $ z(n) $ 的更紧界。
• 提供 $ z(18) $ 极值图唯一性的构造性证明，表明其同构于由Steiner三元系导出的已知设计基图。

提出的方法

• 利用阶为 $ k $ 的射影平面的关联结构构造不含 $ C_4 $ 的二分图，从而为 $ n = k^2 + k + 1 - h $，$ h \leq 4 $ 的情况提供 $ z(n) $ 的下界。
• 应用Zarankiewicz上界公式 $ z(m,n) \leq m/2 + \sqrt{m^2 + 4mn(n-1)}/2 $，推导不含 $ C_4 $ 的图中边数的理论极限。
• 使用计算机辅助算法验证 $ z(18) $ 的极值图唯一性，确认其与9个点上Steiner三元系导出的设计基构造完全匹配。
• 通过结合 $ 3C_6 $、$ 9K_2 $ 和对称子图的块对角结构，构造 $ K_{18,18} $ 的四色染色，且不产生单色 $ C_4 $，并证明其避免单色四边形。
• 在固定前两种颜色后，使用SAT求解器完成二分图补图的四色染色，确保不形成单色 $ C_4 $。
• 利用对称性和同构约简识别非同构的四色染色，仅发现8种此类染色，全部同构于构造出的 $ \mathcal{D} $-染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 四色二分Ramsey数 $ b_4(2) $ 的精确值是多少？能否以构造性方式确定？
• RQ2 对于 $ n \leq 21 $，Zarankiewicz数 $ z(n) $ 的精确值是什么？它们与有限几何中极值图构造有何关联？
• RQ3 目前对 $ b_k(2) $ 的最紧界限是什么，特别是 $ k = 5 $ 的情况？$ b_5(2) $ 的可能精确值是多少？
• RQ4 能否唯一刻画 $ z(18) $ 的极值图？它是否同构于已知的设计基构造？
• RQ5 如何结合SAT求解器与组合设计理论，构造完全二分图的边染色，以避免出现单色 $ C_4 $？

主要发现

• 本文证明了 $ b_4(2) = 19 $，解决了四边形对角多色二分Ramsey数序列中首个未解问题。
• 本文确定 $ z(18) $ 的精确值为81，且极值图在同构意义下唯一，其结构与移除特定子图的阶为4的射影平面的关联结构完全匹配。
• 本文计算出所有 $ n \leq 21 $ 时 $ z(n) $ 的精确值，目前首个未解问题出现在 $ n = 22 $，并为 $ n = k^2 + k + 1 - h $，$ h \leq 4 $ 的情况，以 $ k^3 + 2k^2 + \cdots $ 的形式提供了明确的下界。
• 对于 $ k = 5 $，本文建立了 $ 26 \leq b_5(2) \leq 28 $ 的界限，并基于结构和计算证据推测 $ b_5(2) = 28 $。
• 构造的 $ K_{18,18} $ 的四色染色 $ \mathcal{D} $ 每种颜色均有81条边，所有颜色诱导的图均为同构的不含 $ C_4 $ 的图，且未形成单色 $ C_4 $，从而确认 $ b_4(2) = 19 $。
• 本文确认 $ z(18) $ 的极值图同构于从9个点的Steiner三元系中移除三个平行块后导出的图，且该结构是四色染色 $ \mathcal{D} $ 的基础。