[论文解读] On space-like generalized constant ratio hypersufaces in Minkowski spaces

Mahmut Ergüt, Alev Kelleci+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文分类了四维闵氏空间 $Ε^4_1$ 中具有零高斯-克罗内克曲率的类空广义常比（GCR）超曲面。证明表明，此类超曲面与三种显式类型之一合同：二维球面的超圆柱面、通过类时曲线的双曲旋转参数化的超曲面，或由双曲面 $Ε^4_1$ 中的曲面通过径向构造生成的超曲面。该分类依赖于半黎曼几何中的微分几何技术，以及与位置向量切向分量相关的主方向表征。

ABSTRACT

A hypersurface in a Euclidean space $\mathbb{E}^{n+1}$ is said to be a generalized constant ratio (GCR) hypersurface if the tangential part of its position vector is one of its principle directions. In this work, we move the study of generalized constant ratio hypersurfaces started in \cite% {YuFu2014GCRS} into the Minkowski space. First, we get some geometrical properties of non-degenerated GCR hypersurfaces in an arbitrary dimensional Minkowski space. Then, we obtain complete classification of GCR surfaces in the Minkowski 3-space. We also give some explicit examples.

研究动机与目标

• 将广义常比（GCR）超曲面理论从欧几里得空间扩展至闵氏空间，特别关注 $Ε^4_1$ 中的类空超曲面。
• 表征并分类四维闵氏空间中具有零高斯-克罗内克曲率的类空 GCR 超曲面。
• 提供此类超曲面的显式几何构造，并验证其 GCR 性质与平坦性。
• 将先前关于 $Ε^3$ 和 $Ε^3_1$ 中 GCR 曲面的结果推广至更高维闵氏空间。

提出的方法

• 采用 GCR 超曲面的定义：位置向量的切向分量为一个主方向。
• 在闵氏空间中应用高斯公式与魏因加滕公式，推导形状算子与第二基本形式。
• 利用正交标架场与联络形式分析形状算子与主曲率的结构。
• 在 GCR 条件下，推导控制主曲率与联络形式的偏微分方程组。
• 通过几何参数化构造显式例子：超圆柱面、类时曲线上双曲旋转生成的超曲面，以及双曲面中曲面的径向构造。
• 利用条件 $\omega_{23}(e_1)(k_2 - k_3) = 0$ 与 $e_2(k_1) = e_3(k_1) = 0$ 约束曲率行为，并推导分类结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $Ε^4_1$ 中，类空超曲面成为具有零高斯-克罗内克曲率的广义常比（GCR）超曲面的必要且充分几何条件是什么？
• RQ2 在 $Ε^4_1$ 中，哪些显式几何族的超曲面满足 GCR 条件且具有零高斯-克罗内克曲率？
• RQ3 在这些超曲面中，位置向量的切向分量如何与主方向相关联？
• RQ4 能否将 $Ε^4_1$ 中 GCR 超曲面的分类简化为有限个几何类型？
• RQ5 类时锥在这些平坦 GCR 超曲面的结构中起什么作用？

主要发现

• 所有在 $Ε^4_1$ 中具有零高斯-克罗内克曲率的类空 GCR 超曲面均与以下三种类型之一合同：二维球面的超圆柱面、通过类时曲线的双曲旋转构造的超曲面，或由双曲面 $Ε^4_1$ 中的曲面通过径向构造生成的超曲面。
• 超圆柱面 $M = σ^2(1/c^2) \times \mathbb{E}^1$ 是一个具有零高斯-克罗内克曲率的 GCR 超曲面，其中 $\partial_u$ 方向对应于一个零主曲率。
• 参数化为 $x(s,t,u) = s\beta(u) - c(V_1(u)\cosh(t/c) + V_2(u)\sinh(t/c))$ 的超曲面是一个 GCR 超曲面，其主曲率为 $0, 1/c, k_3$，且高斯-克罗内克曲率为零。
• 径向构造 $x(s,t,u) = s r(t,u) - c N(t,u)$，其中 $N$ 是曲面 $r$ 的球面对应法向量，生成一个 GCR 超曲面，且满足 $S(\partial_s) = 0$，意味着高斯-克罗内克曲率为零。
• 在该设定下，对所有与位置向量正交的切向量场 $Y$，条件 $Y(\theta) = 0$ 与 GCR 性质等价。
• 该分类是完备的：任何此类超曲面必合同于上述三种显式构造类型之一。