[论文解读] On special geometry of the moduli space of string vacua with fluxes

Bo-Yu Hou, Sen Hu+1 more|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文通过利用 $dd^\mathcal{J}$ 引理和 $d_H$-上同调，建立了具有 NS 和 RR 混合 flux 的 II 型弦真空模空间上的特殊几何。它将模空间识别为 $d_H$-上同调类的子空间，从而导出平坦的辛结构以及以修正的 Hitchin 泛函为 Kähler 潜势的 Kähler 度量，为完整保留超对称性的 flux 紧化提供了几何框架。

ABSTRACT

In this paper we construct a special geometry over the moduli space of type II string vacua with both NS and RR fluxes turning on. Depending on what fluxes are turning on we divide into three cases of moduli space of generalized structures. They are respectively generalized Calabi-Yau structures, generalized Calabi-Yau metric structures and ${\cal N} =1$ generalized string vacua. It is found that the $d d^{\cal J}$ lemma can be established for all three cases. With the help of the $d d^{\cal J}$ lemma we identify the moduli space locally as a subspace of $d_{H}$ cohomologies. This leads naturally to the special geometry of the moduli space. It has a flat symplectic structure and a K$\ddot{ m a}$hler metric with the Hitchin functional (modified if RR fluxes are included) the K$\ddot{ m a}$hler potential. Our work is based on previous works of Hitchin and recent works of Gra$ ilde{ m n}$a-Louis-Waldram, Goto, Gualtieri, Yi Li and Tomasiello. The special geometry is useful in flux compactifications of type II string theories.

研究动机与目标

• 在具有 NS 和 RR flux 的 II 型弦真空模空间上构造特殊几何。
• 将模空间分类为三种情况：广义 Calabi-Yau 结构、广义 Calabi-Yau 度量结构和 $\mathcal{N}=1$ 广义弦真空。
• 证明在所有三种情况下 $dd^\mathcal{J}$ 引理成立，从而实现模空间与 $d_H$-上同调类的识别。
• 表明修正的 Hitchin 泛函作为模空间上 Kähler 度量的 Kähler 潜势。
• 证明修正的 Hitchin 泛函的临界点对应于所有 flux 均开启的超对称解。

提出的方法

• 作者利用 $dd^\mathcal{J}$ 引理，将模空间局部识别为 $d_H$-上同调类的子空间，其中 $d_H = d + H \wedge$ 包含了 NS flux。
• 他们引入局部源项以包含 RR flux，通过将源项作为项加入 Hitchin 泛函来修改该泛函。
• Kähler 潜势被识别为修正的 Hitchin 泛函的对数，其构造形式为 $H(\rho) = \int_M (\sigma(\rho) \wedge J\rho)_{\text{top}} + (\eta \wedge F)_{\text{top}}$。
• 模空间上的辛结构被证明是平坦的，其自然来源于上同调结构。
• 复结构由函数 $\phi(\rho) = \sqrt{-q(\rho)/3}$ 关联的哈密顿向量场导出，该函数在稳定旋量上生成一个圆作用。
• 通过 $\phi$ 的二阶导数证明了几乎复结构的可积性，该二阶导数通过 $D^2\phi(\hat{\rho}_1, \hat{\rho}_2) = \omega(J\hat{\rho}_1, \hat{\rho}_2)$ 定义复结构 $J$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有 NS 和 RR flux 的 II 型弦真空模空间上一致地定义特殊几何？
• RQ2 $dd^\mathcal{J}$ 引理在将模空间识别为 $d_H$-上同调类中起到什么作用？
• RQ3 如何修改 Hitchin 泛函以包含 RR flux，同时保持其作为 Kähler 潜势的角色？
• RQ4 在 flux 紧化下，模空间上自然出现的几何结构（辛、复、Kähler）是什么？
• RQ5 修正的 Hitchin 泛函的临界点是否等价于所有 flux 均开启的 II 型弦理论超对称解？

主要发现

• 在所有三种情况下：广义 Calabi-Yau 结构、广义 Calabi-Yau 度量结构和 $\mathcal{N}=1$ 广义弦真空，$dd^\mathcal{J}$ 引理均成立。
• 模空间被局部识别为 $d_H$-上同调类的子空间，从而实现了对形变的上同调描述。
• 模空间携带一个由稳定旋量空间上的自然辛形式导出的平坦辛结构。
• 在模空间上构造了一个 Kähler 度量，其 Kähler 潜势为修正的 Hitchin 泛函的对数。
• 修正的 Hitchin 泛函的临界点满足 $d_H\rho = 0$ 和 $d_H(J\rho) = *F$，这正是所有 flux 均开启的 II 型真空的超对称方程。
• 修正的 Hitchin 泛函的表达式为 $H(\rho) = \int_M (\sigma(\rho) \wedge J\rho)_{\text{top}} + (\eta \wedge F)_{\text{top}}$，其中 $\rho = \rho_0 + d_H\eta$ 且 $d_H\rho_0 = 0$，$d_H(J\rho_0) = 0$。