[论文解读] On spectral asymptotics of the tensor product of operators with almost regular marginal asymptotics

Nikita Rastegaev|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2018

advanced mathematical theories参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将紧自伴算子张量积的谱渐近性理论推广至具有近乎规则边缘特征值行为的算子，证明在温和条件下，张量积继承了近乎规则的渐近性。核心结果建立了高斯随机场小球概率的精确对数渐近性，扩展了关于布朗代数片及具有分形测度的相关过程的先前研究。

ABSTRACT

Spectral asymptotics of a tensor product of compact operators in Hilbert space with known marginal asymptotics is studied. Methods of A. Karol', A. Nazarov and Ya. Nikitin (Trans. AMS, 2008) are generalized for operators with almost regular marginal asymptotics. In many (but not all) cases it is shown, that tensor product has almost regular asymptotics as well. Obtained results are then applied to the theory of small ball probabilities of Gaussian random fields.

研究动机与目标

• 将紧算子张量积的谱渐近性理论从规则渐近性推广至具有近乎规则边缘特征值行为的算子。
• 确定两个具有近乎规则特征值渐近性的算子的张量积在何种条件下也表现出近乎规则的谱行为。
• 将推导出的谱渐近性应用于高斯随机场的小球概率问题，特别是具有自相似或分形测度的场。
• 将关于布朗代数片和格林过程的先前结果推广至更广泛的具有谱计数函数周期性波动的高斯场类别。

提出的方法

• 将Karol, Nazarov和Nikitin（2008）的方法推广至处理特征值渐近形式为 $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ 的算子，其中 $\psi$ 为慢变函数，$\mathfrak{s}$ 为周期函数。
• 通过几乎梅林型积分的卷积，分析 $\mathcal{N}(t, \mathcal{T} \otimes \widetilde{\mathcal{T}})$ 在 $t \to 0^+$ 时的渐近行为。
• 根据功率参数 $p$ 和 $\widetilde{p}$ 的相对大小，以及慢变函数相关积分的收敛性，对所得渐近性进行分类。
• 利用特征值渐近性与计数函数渐近性之间的等价关系：$\mathcal{N}(t) \sim \frac{\varphi(1/t) \cdot s(\ln(1/t))}{t^{1/p}}$，其中 $\varphi$ 为慢变函数，$s$ 为周期函数。
• 通过协方差算子的谱渐近性与对数小球概率之间的联系，将谱结果应用于高斯场。
• 推导出当 $\varepsilon \to 0$ 时 $\ln \mathbf{P}(\|Z\|_{\mu} \leq \varepsilon)$ 的显式渐近形式，其中包含周期函数和幂对数校正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个具有近乎规则特征值渐近性的紧算子的张量积会继承近乎规则的谱行为？
• RQ2 相对功率参数 $p$ 和 $\widetilde{p}$，以及谱波动的周期性，如何影响张量积特征值计数函数的渐近结构？
• RQ3 对于协方差算子为具有近乎规则谱行为的算子张量积的高斯随机场，其小球概率渐近性的精确形式是什么？
• RQ4 非可公度周期或退化的周期分量如何影响张量积的谱渐近性？

主要发现

• 当 $\widetilde{p} > p$ 或 $\widetilde{p} = p$ 且积分发散且周期可公度时，具有近乎规则渐近性 $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ 的两个算子的张量积会继承近乎规则的谱渐近性。
• 当周期分量的周期不可公度时，张量积的谱渐近性变为规则的（即周期分量退化为常数）。
• 当一个或两个积分 $\int_1^\infty \varphi(\sigma) \frac{d\sigma}{\sigma}$ 收敛时，所得渐近性更为复杂，涉及对数校正项。
• 对于具有广义康托测度的布朗代数片，小球概率满足 $\ln \mathbf{P}(\|\mathbb{W}_d\|_{\mu} \leq \varepsilon) \sim -\varepsilon^{-2\log_3 2} \ln^{(d-1)\log_3 6}(1/\varepsilon) \zeta(\ln(1/\varepsilon))$，其中 $\zeta$ 为 $\frac{\ln 3}{2}$-周期函数。
• 小球概率渐近形式取决于具有最小功率指数 $\mathfrak{p}$ 的算子数量 $\mathfrak{d}$，且张量积的周期分量通过迭代应用卷积公式获得。