[论文解读] On spectral radius of strongly connected digraphs

J. Li, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Graph theory and applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文确定了阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中，第二、第三和第四小的谱半径，正面解决了关于 $ \theta(0,1,n-3) $ 的一个猜想：该有向图是强连通双圈有向图中谱半径最小的，同时也实现了所有强连通有向图中第二小的谱半径。结果通过邻接矩阵的谱分析以及对子有向图的结构约束推导得出，利用特征多项式和单调性论证，精确刻画了极值有向图的结构。

ABSTRACT

We determine the digraphs which achieve the second, the third and the fourth minimum spectral radii respectively among strongly connected digraphs of order $n\ge 4$, and thus we answer affirmatively the problem whether the unique digraph which achieves the minimum spectral radius among all strongly connected bicyclic digraphs of order $n$ achieves the second minimum spectral radius among all strongly connected digraphs of order $n$ for $n\ge 4$ proposed in [H. Lin, J. Shu, A note on the spectral characterization of strongly connected bicyclic digraphs, Linear Algebra Appl. 436 (2012) 2524--2530]. We also discuss the strongly connected bicyclic digraphs with small and large spectral radii respectively.

研究动机与目标

• 为解决问题 1.1，即判断 $ \theta(0,1,n-3) $ 是否在所有阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中实现第二小的谱半径。
• 刻画所有阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中，实现第二、第三和第四小谱半径的唯一有向图。
• 确定阶 $ n \geq 4 $ 的强连通双圈有向图中，实现第二和第三小谱半径的有向图。
• 识别 $ \mathbb{B}_n $ 中实现第二大谱半径的唯一有向图，其中 $ n \geq 4 $。

提出的方法

• 通过特征多项式 $ P(D,x) = \det(xI - A(D)) $ 分析有向图 $ D $ 的谱半径 $ \rho(D) $，其中 $ A(D) $ 为邻接矩阵。
• 基于 $ \theta(a,b,c) $ 和 $ \infty(k,l) $ 结构，利用禁止子有向图论证，推导出排除会增加谱半径的子有向图的结构约束。
• 利用引理 2.5 和引理 2.7 建立谱半径的单调性，证明 $ \rho(\theta(0,2,n-4)) $ 和 $ \rho(\theta(0,n-2,0)) $ 关于 $ n $ 严格递减。
• 通过比较特征多项式：对 $ x > 1 $，分析 $ P(D_1,x) - P(D_2,x) $ 的符号，确定谱半径的排序。
• 将理论界与 Maple 的直接计算相结合，针对 $ n = 5,6,7 $ 解决了第二大谱半径的情形。
• Perron-Frobenius 定理保证 $ \rho(D) $ 是一个单特征值，且对应正特征向量，从而支持谱主导性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶 $ n \geq 4 $ 的所有强连通有向图中，$ \theta(0,1,n-3) $ 是否实现第二小的谱半径？
• RQ2 在阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图类中，实现第二、第三和第四小谱半径的唯一有向图是什么？
• RQ3 在阶 $ n \geq 4 $ 的强连通双圈有向图中，哪些有向图实现第二和第三小的谱半径？
• RQ4 在 $ \mathbb{B}_n $ 中，实现第二大谱半径的唯一有向图是什么，其中 $ n \geq 4 $？

主要发现

• 有向图 $ \theta(0,1,n-3) $ 在所有阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中实现最小谱半径，与先前结果一致。
• 有向图 $ \theta(1,1,n-4) $ 是所有阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中实现第三小谱半径的唯一有向图。
• 有向图 $ \theta(0,2,n-4) $ 是所有阶 $ n \geq 4 $ 的强连通有向图中实现第四小谱半径的唯一有向图。
• 对于 $ n \geq 4 $，有向图 $ \theta(0,1,n-3) $ 实现第二小谱半径，正面解决了问题 1.1。
• 对于 $ 5 \leq n \leq 7 $，有向图 $ \infty(3,n-2) $ 在 $ \mathbb{B}_n $ 中实现第二大谱半径；而对于 $ n = 4 $ 和 $ n \geq 8 $，有向图 $ \theta(0,n-2,0) $ 实现该角色。
• 有向图 $ \theta(0,n-2,0) $ 的谱半径关于 $ n $ 严格递减，且当 $ n \geq 8 $ 时，其谱半径严格小于 $ \infty(3,n-2) $ 的谱半径，从而确认了极值值的排序。