[论文解读] On spectral representation of coalgebras and Hopf algebroids

J. Mrčun|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文建立了在流形上紧支撑光滑函数代数上的étale李群概形与霍普夫双代数之间的对偶性。它从任意此类霍普夫双代数构造了一个谱étale李群概形，证明该赋值是全忠实的且是群概形代数函子的左伴随，当且仅当霍普夫双代数通过此构造源自群概形时，二者同构。

ABSTRACT

In this paper we establish a duality between etale Lie groupoids and a class of non-necessarily commutative algebras with a Hopf algebroid structure. For any etale Lie groupoid G over a manifold M, the groupoid algebra C_c(G) of smooth functions with compact support on G has a natural coalgebra structure over C_c(M) which makes it into a Hopf algebroid. Conversely, for any Hopf algebroid A over C_c(M) we construct the associated spectral etale Lie groupoid G_sp(A) over M such that G_sp(C_c(G)) is naturally isomorphic to G. Both these constructions are functorial, and C_c is fully faithful left adjoint to G_sp. We give explicit conditions under which a Hopf algebroid is isomorphic to the Hopf algebroid C_c(G) of an etale Lie groupoid G. We also demonstrate that an analogous duality exists between sheaves on M and a class of coalgebras over C_c(M).

研究动机与目标

• 建立在流形上紧支撑光滑函数代数上的étale李群概形与霍普夫双代数之间的对偶性。
• 从配备霍普夫双代数结构的群概形代数重构一个étale李群概形。
• 刻画何时一个霍普夫双代数可作为某个étale李群概形的群概形代数。
• 通过谱构造将对偶性推广至流形上的层。

提出的方法

• 在étale李群概形 $ G $ 上的紧支撑光滑函数空间上定义余代数结构，使其成为 $ C^inity_c(M) $ 上的霍普夫双代数。
• 通过 $ S $-不变的弱群元集合，从任意 $ C^inity_c(M) $ 上的霍普夫双代数 $ A $ 构造谱étale李群概形 $ G_{\text{sp}}(A) $。
• 在每一点 $ x \in M $ 处使用商余代数 $ C_x = C / N_x(C) $，将谱层 $ E_{\text{sp}}(C) $ 的纤维定义为 $ C_x $ 中的群元集合。
• 在流形上的层与 $ C^inity_c(M) $ 上的余代数之间建立函子对应，证明 $ C^inity_c $ 是全忠实的且是 $ E_{\text{sp}} $ 的左伴随。
• 证明霍普夫双代数 $ A $ 同构于某个étale李群概形 $ G $ 的 $ C^inity_c(G) $ 当且仅当其 $ S $-不变的弱群元正规生成 $ A $ 且正规线性无关。
• 证明自然映射 $ \Theta_A: C^inity_c(G_{\text{sp}}(A)) \to A $ 是同构，当且仅当 $ A $ 满足上述关于其弱群元的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ C^inity_c(M) $ 上的霍普夫双代数何时同构于某个étale李群概形的群概形代数？
• RQ2 如何从其紧支撑光滑函数的霍普夫双代数重构一个étale李群概形？
• RQ3 霍普夫双代数需满足何种条件，才能使其谱群概形同构于原始群概形？
• RQ4 谱构造如何与群概形的层论结构相关联？
• RQ5 哪些 $ C^inity_c(M) $ 上的余代数可源自流形上的层？

主要发现

• 从流形 $ M $ 上的层范畴到 $ C^inity_c(M) $ 上余代数范畴的函子 $ C^inity_c $ 是全忠实的，且是谱层函子 $ E_{\text{sp}} $ 的左伴随。
• 在 $ C^inity_c(M) $ 上的余代数 $ C $ 同构于 $ M $ 上某个层 $ E $ 的 $ C^inity_c(E) $ 当且仅当对所有 $ x \in M $，$ C_x $ 是由 $ G(C_x) $ 生成的自由模。
• 霍普夫双代数 $ A $ 同构于某个étale李群概形 $ G $ 的 $ C^inity_c(G) $ 当且仅当其 $ S $-不变的弱群元正规生成 $ A $ 且正规线性无关。
• 自然映射 $ \Theta_A: C^inity_c(G_{\text{sp}}(A)) \to A $ 是同构，当且仅当 $ A $ 满足上述关于其弱群元的条件。
• 当 $ A \cong C^inity_c(G) $ 时，谱群概形 $ G_{\text{sp}}(A) $ 同构于原始的étale李群概形 $ G $。
• 谱构造通过 $ E_{\text{sp}}(C^inity_c(E)) \cong E $ 从 $ C^inity_c(E) $ 恢复原始层 $ E $。