[论文解读] On stability analysis by using Nyquist and Nichols Charts

Seyed Mohammad Mahdi Alavi, Mehrdad Saif|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2015

Control Systems and Identification参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提供了一份关于使用奈奎斯特图和尼科尔斯图进行稳定性分析的全面教程，强调了通过‘穿越’概念建立的两者之间的关系。它展示了如何系统地应用这两种方法来评估反馈系统的稳定性，特别是针对非最小相位系统和时滞系统，并为定量反馈理论（QFT）中的回路整形设计提供了关键见解。

ABSTRACT

This paper reviews stability analysis techniques by using the Nyquist and Nichols charts. The relationship between the Nyquist and Nichols stability criteria is fully described by using the crossing concept. The results are demonstrated through several numerical examples. This tutorial provides useful insights into the loop-shaping based control systems design such as Quantitative Feedback Theory.

研究动机与目标

• 通过穿越概念阐明奈奎斯特图与尼科尔斯图稳定性准则之间的关系。
• 为非最小相位系统和时滞系统提供统一的稳定性分析框架。
• 通过展示两种图表的实际应用，支持定量反馈理论（QFT）中的回路整形设计。
• 提供数值示例，以演示稳定性准则在实际控制系统设计中的应用。
• 解决尽管尼科尔斯图稳定性分析具有实用性，但缺乏详细教学材料的问题。

提出的方法

• 使用标准奈奎斯特轮廓将环路函数 $ L(s) $ 映射到复平面上，以评估稳定性。
• 应用柯西原理，通过 $ N_z = N + N_p $ 将临界点 $(-1,0)$ 的包围次数与系统稳定性关联起来。
• 引入“穿越概念”，用于分析奈奎斯特图如何穿越如 $ R_{(- ext{infty}, -1)} $ 等关键区域，以判断稳定性。
• 利用尼科尔斯图表示幅度（单位为dB）与相位（单位为度）的关系，实现对频率响应的同步分析。
• 通过数值示例对比奈奎斯特图与尼科尔斯图的结果，验证一致性并增强设计洞察。
• 将QFT中的环路函数整形作为两种稳定性分析工具的实际应用背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 奈奎斯特图与尼科尔斯图的稳定性准则如何通过穿越概念相互关联？
• RQ2 在通过奈奎斯特图与尼科尔斯图分析时，反馈系统稳定的条件是什么？
• RQ3 如何利用穿越概念判断具有非最小相位零点或积分器的系统的稳定性？
• RQ4 与仅依赖幅频响应或相位响应的方法相比，两种图表在分析时滞系统或不稳定对象时有何优势？
• RQ5 这些技术如何在回路整形设计中有效应用，特别是在定量反馈理论（QFT）中？

主要发现

• 当 $ K = -1 $ 时，例6的奈奎斯特图未穿越 $ R_{(- ext{infty}, -1)} $，导致 $ N = 0 $，$ N_p = 0 $，且 $ N_z = 0 $，表明系统稳定。
• 当 $ K = -5 $ 时，奈奎斯特图两次顺时针穿越 $ R_{(- ext{infty}, -1)} $，得出 $ N = +2 $，$ N_p = 0 $，且 $ N_z = 2 $，表明存在两个不稳定极点，系统不稳定。
• 尼科尔斯图能够同步分析幅度与相位，显著提升了对非最小相位系统和时滞系统的分析效率。
• 穿越概念提供了一种清晰的图形化方法，通过统计奈奎斯特图穿越关键区域的次数来判断系统稳定性。
• 本文证实，当正确应用时，奈奎斯特图与尼科尔斯图方法在稳定性判断上具有一致性，尤其是在基于穿越的分析中。
• 本教程表明，QFT设计可从同时使用两种图表中获益，特别是在根据图形设计边界对环路函数进行整形时。