[论文解读] On standard finite difference discretizations of the elliptic Monge-Ampere equation

Gerard Awanou|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于椭圆Monge-Ampère方程的稳定且收敛的有限差分方法，通过正则化和在子区域上的内部离散化实现。该方法证明了离散解在紧子集上一致收敛于正则化问题的解，其时间推进算法在光滑解情况下性能优于牛顿法，并且在非光滑解情况下，无论初始猜测与解的接近程度如何，经适当缩放后仍能保持鲁棒收敛。

ABSTRACT

Given an orthogonal lattice with mesh length h on a bounded convex domain, we propose to approximate the Aleksandrov solution of the Monge-Ampere equation by regularizing the data and discretizing the equation in a subdomain using the standard finite difference method. The Dirichlet data is used to approximate the solution in the remaining part of the domain. We prove the uniform convergence on compact subsets of the solution of the discrete problems to an approximate problem on the subdomain. The result explains the behavior of methods based on the standard finite difference method and designed to numerically converge to non-smooth solutions. We propose an algorithm which for smooth solutions appears faster than the popular Newton's method with a high accuracy for non smooth solutions. The convergence of the algorithm is independent of how close to the numerical solution the initial guess is, upon rescaling the equation and given a user's measure of the closeness of an initial guess.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有非光滑解的椭圆Monge-Ampère方程的稳定且收敛的有限差分离散化方法。
• 解释标准有限差分方法在逼近Alexandrov解时的数值行为。
• 设计一种时间推进算法，其收敛性不依赖于初始猜测的质量，前提是对方程进行缩放。
• 通过兼容的离散化和缩放，建立光滑解的收敛速率。
• 提供一种通过正则化和网格细化逼近解至指定精度的框架。

提出的方法

• 使用光滑逼近 $ f_m, g_m \in C^\infty(\overline{\Omega}) $ 对右端项 $ f $ 和边界数据 $ g $ 进行正则化，实现一致收敛。
• 定义一个内部子区域 $ \widetilde{\Omega} \subset \Omega_s $，其中 $ \Omega_s $ 是一个均匀凸的子区域，且随 $ s \to 0 $ 而收缩至 $ \Omega $，用于有限差分离散化。
• 使用标准中心差分法对Hessian矩阵 $ D^2u $ 进行离散化，并通过余因子矩阵和离散散度定义离散的Monge-Ampère算子。
• 基于离散方程构建时间推进算法，初始迭代使用中心差分格式，随后切换至兼容离散化以提高精度。
• 对方程进行缩放，以确保无论初始猜测与解的接近程度如何，迭代方法均能收敛。
• 利用内部二阶导数估计和矩阵连续性论证，证明离散解 $ u_{h} $ 在 $ \widetilde{\Omega} $ 上收敛于正则化问题的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解非光滑时，如何使标准有限差分方法在椭圆Monge-Ampère方程上保持稳定与收敛？
• RQ2 在区域的紧子集上，离散解一致收敛于正则化问题的条件是什么？
• RQ3 时间推进有限差分格式能否在光滑解情况下实现比牛顿法更快的收敛速度？
• RQ4 迭代方法的收敛性是否依赖于初始猜测？如果是，如何消除这种依赖？
• RQ5 光滑解的有限差分离散化的渐近收敛速率是多少？与有限元方法相比如何？

主要发现

• 离散解 $ u_h $ 在 $ \widetilde{\Omega} $ 的紧子集上一致收敛于正则化问题 $ \det D^2\tilde{u} = f_{\tilde{m}} $ 在 $ \widetilde{\Omega} $ 上的解 $ \tilde{u} $，且满足 $ \tilde{u} = u_{\tilde{m}} $ 在 $ \partial\widetilde{\Omega} $ 上。
• 对于光滑解，时间推进有限差分方法的计算速度可比牛顿法快至15倍。
• 在适当缩放方程后，时间推进算法的收敛性与初始猜测是否接近解无关。
• 对于光滑解，该方法实现了与有限元方法一致的渐近收敛速率，其证明基于矩阵特征值的连续性与缩放。
• 当使用时间推进法对中心离散化进行初始化后，再应用于兼容离散化时，非光滑解也能实现高精度。
• 离散解 $ u_h $ 是一个离散凸函数，且该方法保证了离散问题局部解的存在性与唯一性。