[论文解读] On state-space representations of general discrete-time dynamical systems

Cristian R. Rojas, Paweł Wachel|arXiv (Cornell University)|May 6, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文证明了每一个确定性、非自治、离散时间、因果且时不变的动力系统，均可通过Nerode等价关系实现状态空间表示。在拓扑假设下，该构造在状态空间的基数或维数意义上是最小的，为非线性和非线性系统提供了广义的实现问题解法，且无需假设光滑性或线性性。

ABSTRACT

In this paper we establish that every (deterministic) non-autonomous, discrete-time, causal, time invariant system has a state-space representation, and discuss its minimality.

研究动机与目标

• 解决长期存在的开放问题：所有因果、时不变、离散时间动力系统是否均可实现为状态空间形式？
• 在不假设线性性、连续性或可微性的情况下，提供此类表示的广义构造方法。
• 利用Nerode等价关系与拓扑可观测性概念，建立所得状态空间模型的最小性。
• 弥合广义非线性系统中输入-输出系统理论与状态空间建模之间的鸿沟。

提出的方法

• 使用Nerode等价关系，将状态定义为产生相同输出轨迹的输入序列的等价类。
• 构造一个状态空间模型 (f, g)，其中状态空间为商集 U^Z / ∼₀，且 ∼₀ 通过输入-输出等价性定义。
• 通过将输入-输出行为提升至商空间，定义状态转移函数 f 和输出函数 g。
• 证明所得 (f, g) 通过自然投影映射 P̄ 实现了原始系统 T。
• 应用拓扑与微分结构假设，证明最小实现继承了局部可观测点处的流形结构。
• 表明在局部可观测性条件下，Nerode表示在状态空间大小与维数上均为最小。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个因果、时不变、离散时间动力系统是否均可表示为状态空间形式？
• RQ2 此类系统的最小状态空间表示是什么？如何构造？
• RQ3 基于Nerode等价关系的构造是否在状态空间基数或维数上实现最小化？
• RQ4 Nerode表示的最小性与光滑或拓扑系统中的局部可观测性有何关联？

主要发现

• 每个因果、时不变、离散时间系统均可通过Nerode等价关系构造实现状态空间表示。
• 所构造的状态空间 U^Z / ∼₀ 在最小性意义上是最小的，即不存在更小的状态空间可实现该系统。
• 若输入集与输出集为有限集，则Nerode状态空间在所有实现中具有最少的状态数。
• 在拓扑假设下，Nerode表示在局部可观测点处继承了可微结构，且维数与原始状态空间一致。
• 即使对于非线性系统，Nerode表示的最小性也成立，且无需假设线性性或连续性。
• 该构造具有鲁棒性，无需额外的结构假设，如可微性或连续性。