[论文解读] On Stepwise Control of Directional Errors under Independence and Some Dependence

Wenge Guo, Joseph P. Romano|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一类新型分步多重假设检验程序，可在独立性和各种依赖结构下联合控制第一类错误和方向性错误（第三类错误）。通过同时控制混合方向性家族错误率（mdFWER）与混合方向性错误发现率（mdFDR），作者提出的程序在显著性水平 α 下实现了强控制，扩展了以往在严格分布假设下的研究成果。

ABSTRACT

In this paper, the problem of error control of stepwise multiple testing procedures is considered. For two-sided hypotheses, control of both type 1 and type 3 (or directional) errors is required, and thus mixed directional familywise error rate control and mixed directional false discovery rate control are each considered by incorporating both types of errors in the error rate. Mixed directional familywise error rate control of stepwise methods in multiple testing has proven to be a challenging problem, as demonstrated in Shaffer (1980). By an appropriate formulation of the problem, some new stepwise procedures are developed that control type 1 and directional errors under independence and various dependencies.

研究动机与目标

• 解决在多重双侧假设检验中同时控制第一类错误与方向性错误（第三类错误）的挑战。
• 通过在一般依赖结构下保持错误控制，将现有方法——此前仅限于独立检验统计量和特定分布——进行扩展。
• 为分步程序提供统一框架，以控制混合方向性家族错误率（mdFWER）与混合方向性错误发现率（mdFDR）。
• 克服以往方法的局限性，例如方向性 Holm 程序在非正态或重尾分布（如柯西分布）下失效的问题。
• 在弱依赖假设下，利用新颖的证明技术，为 mdFWER 和 mdFDR 控制建立理论保证。

提出的方法

• 将多重假设检验问题表述为同时控制包含第一类错误与方向性错误的联合错误率，定义 mdFWER = Pr(U ≥ 1) 与 mdFDR = E(U / max(R,1))。
• 基于 α 和样本量推导临界值，提出分步与分步上升程序，并通过条件独立性与 TP3 密度假设对依赖性进行调整。
• 采用基于对被拒绝的虚假原假设集合进行条件化的新颖证明策略，并利用原假设下 p 值的对称性。
• 利用配对单侧假设下的恒等式 P_{n+i} = 1 - P_i 简化 FDR 控制证明中的期望计算。
• 使用指示函数与 p 值的顺序统计量，对错误拒绝与方向性错误的概率进行上界估计。
• 通过在原假设下对拒绝概率进行递归上界估计，结合分步程序的结构与条件独立性，实现控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造分步多重假设检验程序，在一般依赖结构下联合控制第一类错误与方向性错误？
• RQ2 方向性 Holm 程序在非正态或重尾分布（如柯西分布）下是否仍能保持 mdFWER 控制？
• RQ3 在独立性与正回归依赖性下，能否通过分步程序同时控制 mdFWER 与 mdFDR？
• RQ4 所提出的程序在功效上与现有方法（如方向性 Hochberg 或修正 Bonferroni 程序）相比如何？
• RQ5 在何种理论条件下，分步程序可在不依赖严格分布假设的前提下，实现对 mdFWER 与 mdFDR 的强控制？

主要发现

• 所提出的分步程序在独立性及某些依赖结构（包括正回归依赖性）下，可在显著性水平 α 下控制混合方向性家族错误率（mdFWER）。
• 作者证明了方向性 Holm 程序在独立性与弱分布假设下仍能保持 mdFWER 的强控制，解决了长期存在的开放问题。
• 对于 mdFDR，所提出的分步上升程序在独立性与对称依赖性下可确保在水平 α 下的控制，其证明依赖于恒等式 P_{n+i} = 1 - P_i。
• 本文提供了一个反例，表明方向性 Holm 程序在柯西分布检验统计量下，即使在独立性条件下也无法控制 mdFWER。
• 该证明方法可推广至一大类分步与闭合检验程序，包括具有 TP3 密度的程序，为错误控制提供通用框架。
• 结果表明，改进的分步下降程序在功效上可显著优于单步方法（如修正 Bonferroni 程序），即使后者在任意依赖结构下仍能控制 FWER。