[论文解读] On Stochastic Comparisons of Order Statistics from Heterogeneous Exponential Samples

Yaming Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过证明异质指数样本的第k个顺序统计量在星序、失效率率和分散性序下均随机支配同质样本的对应统计量，解决了随机序理论中两个长期悬而未决的开放问题。关键结果表明 $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $，证实了Xu与Balakrishnan（2012）以及Pältănea（2008）的猜想，并通过星序的卷积与混合封闭性性质，将结果推广至一般间距。

ABSTRACT

We show that the $k$th order statistic from a heterogeneous sample of $n\geq k$ exponential random variables is larger than that from a homogeneous exponential sample in the sense of star ordering, as conjectured by Xu and Balakrishnan (2012). As a consequence, we establish hazard rate ordering for order statistics between heterogeneous and homogeneous exponential samples, resolving an open problem of Pǎltǎnea (2008). Extensions to general spacings are also presented.

研究动机与目标

• 解决Xu与Balakrishnan（2012）的猜想，即在星序下，异质指数样本的第k个顺序统计量随机支配同质样本的对应统计量。
• 确认Pältănea（2008）的猜想，即在相同条件下 $ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ 成立。
• 通过分布表示与混合封闭性，将顺序统计量的随机比较结果推广至一般间距，如 $ X_{k:n} - X_{m:n} $。
• 基于初等对称函数与速率参数，建立随机支配的充分必要条件。

提出的方法

• 利用星序与指数分布卷积表示，证明 $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $。
• 应用引理1（星序在混合下的封闭性），处理子样本分布函数的加权和。
• 利用TP2核的变差递减性，建立分布函数中唯一交叉点，确保严格星序关系。
• 将间距 $ X_{k:n} - X_{m:n} $ 的分布表示为缩减样本中顺序统计量的混合形式。
• 通过 $ \gamma $、$ \lambda_i $ 与初等对称函数 $ s_{k-m}^{[\mathbf{r}]} $ 的条件，刻画间距的随机支配关系。
• 利用Maclaurin不等式与对数凹性论证，比较同质与异质样本的卷积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在星序下，异质指数样本的第k个顺序统计量是否随机支配同质样本的对应统计量？
• RQ2 条件 $ \gamma \geq \left( \binom{n}{k}^{-1} s_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \right)^{1/k} $ 是否等价于 $ Y_{k:n} $ 与 $ X_{k:n} $ 之间的失效率序？
• RQ3 顺序统计量的随机比较结果能否推广至一般间距 $ X_{k:n} - X_{m:n} $？
• RQ4 在随机序、失效率序或分散性序下，$ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_{\rm order} X_{k:n} - X_{m:n} $ 的必要与充分条件是什么？
• RQ5 星序能否用于推导似然比序结果，还是需要采用其他方法？

主要发现

• 本文证明了 $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $，证实了Xu与Balakrishnan（2012）对所有 $ 1 \leq k \leq n $ 的猜想。
• 证明了 $ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ 当且仅当 $ \gamma \geq \left( \binom{n}{k}^{-1} s_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \right)^{1/k} $，解决了Pältănea（2008）的开放问题。
• 星序蕴含失效率序与分散性序，因此由 $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $ 可直接推出 $ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ 与 $ Y_{k:n} \leq_{\rm disp} X_{k:n} $。
• 对于一般间距，当 $ 1 \leq m < k \leq n $ 时，有 $ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_* X_{k:n} - X_{m:n} $，扩展了主结果。
• 对于 $ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_{\rm st} X_{k:n} - X_{m:n} $ 的条件，是一个涉及 $ \lambda_i $ 的排列与对称函数的复杂不等式。
• 在特殊情形 $ m=1, k=n $ 时，条件简化为 $ \gamma \geq \left( \frac{\prod_{i=1}^n \lambda_i}{\Lambda/n} \right)^{1/(n-1)} $，恢复了Xu与Balakrishnan（2012）定理4.1的结果。