[论文解读] On stochastic equations with drift in $L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 11

一句话总结

该论文通过使用斯科罗霍德嵌入和紧致性论证，建立了漂移系数属于 $L_d(\mathbb{R}^d)$ 的伊tô随机微分方程的弱解及其相关马尔可夫过程的存在性。论文证明了格林函数的关键估计，包括其可致 summability 达到 $d/(d-1)$ 以及属于 $A_\infty$-Muckenhoupt 类，从而将随机分析与退化扩散的偏微分方程理论中的基础结果加以推广。

ABSTRACT

For Itô stochastic equations in $\mathbb{R}^{d}$ with drift in $L_{d}$ several results are discussed such as the existence of weak solutions, the existence of the corresponding Markov process, Aleksandrov type estimates of their Green's functions, which yield their summability to the power of $d/(d-1)$, the Fabes-Stroock type estimates which show that Green's functions are summable to a higher degree, the Fanghua Lin type estimates, which are one of the main tools in the $W^{2}_{p}$-theory of fully nonlinear elliptic equations, the fact that Green's functions are in the class $A_{\infty}$ of Muckenhoupt and a few other results.

研究动机与目标

• 建立当漂移系数属于 $L_d(\mathbb{R}^d)$ 时伊tô随机微分方程弱解的存在性，这是经典方法失效的关键临界情形。
• 证明与解相关的强马尔可夫过程的存在性。
• 推导与相关椭圆算子格林函数的定量估计，包括更高阶可积性及属于 $A_\infty$-Muckenhoupt 类的性质。
• 将完全非线性椭圆方程的 $W^{2}_p$-理论技术推广至 $L_d$ 漂移的随机设定中。
• 为奇异漂移情形下的弱唯一性与路径行为提供严格的理论基础。

提出的方法

• 使用斯科罗霍德嵌入方法，通过在 $L_d$ 中逼近漂移与扩散系数来构造弱解。
• 对逼近过程的分布运用紧致性与一致性论证，以提取弱极限。
• 应用概率耦合与时空标度，通过首次首达时间估计推导转移密度的下界。
• 利用阿列克桑德罗夫型与法比斯-斯特鲁克型不等式，推导格林函数的先验估计。
• 利用方华林型估计控制格林函数的振荡性与可积性。
• 应用 Muckenhoupt $A_\infty$-类理论，证明格林函数具有加倍性质并满足反向 Hölder 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移仅属于 $L_d(\mathbb{R}^d)$ 时，伊tô SDE 的弱解是否仍存在，尽管经典 $L_p$-理论失效？
• RQ2 与这类 SDE 生成元相关的格林函数具有何种可积性性质？
• RQ3 在 $L_d$ 漂移条件下，能否证明格林函数属于 Muckenhoupt $A_\infty$ 类？
• RQ4 Fabes-Stroock 与方华林估计在 $L_d$ 漂移情形下能推广到何种程度？
• RQ5 在 $L_d$ 漂移假设下，解的弱唯一性是否得到保证？

主要发现

• 对于漂移属于 $L_d(\mathbb{R}^d)$ 的伊tô SDE，弱解存在，通过逼近过程的分布紧致性与极限提取构造而成。
• 相关椭圆算子的格林函数属于 $L^{d/(d-1)}(\mathbb{R}^d)$，且其范数仅依赖于 $\|b\|_{L_d}$ 与椭圆常数。
• 格林函数具有更高阶可积性：存在 $p > d/(d-1)$ 使得其属于 $L^p(\mathbb{R}^d)$，该结果由 Fabes-Stroock 估计得出。
• 格林函数属于 Muckenhoupt $A_\infty$ 类，意味着其满足反向 Hölder 不等式与加倍性质。
• 解过程为强马尔可夫过程，且在 $L_d$ 漂移条件下弱唯一性成立。
• 论文证明了球体首达时间的下尾概率具有幂律衰减形式 $\rho^\nu$（$\nu>0$），该结果支撑了可积性估计的成立。