[论文解读] On strong approximation for algebraic groups

Andrei S. Rapinchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用 6

一句话总结

本文全面综述了代数群中的强逼近性质，重点关注经典 $S$-算术群与关于 Zariski 稠密子群的现代结果。文章证明了 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 通过初等矩阵生成满足强逼近，而 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 不满足，并利用 Weisfeiler 定理对 Zariski 稠密子群的 adelic 闭包进行推广。

ABSTRACT

This is an expanded version of my talk given at the workshop "Hot Topics: Thin Groups and Super-strong Approximation" (MSRI, Berkeley, February 6-10, 2012).

研究动机与目标

• 综述代数群中强逼近性质的已知结果，特别是针对 $S$-算术群和 Zariski 稠密子群。
• 阐明 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 与 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 尽管定义方程相似，但在强逼近性质上的区别。
• 介绍 Weisfeiler 定理关于 Zariski 稠密子群的 adelic 闭包及其对这类子群结构的影响。
• 突出其在群论中的应用，特别是 Lubotzky 的替代性定理以及线性群中的子群增长。
• 通过 Pink 的极小三元组理论，解决正特征情况下（特别是特征 2 和 3）的技术难题。

提出的方法

• 利用 $X(\hat{\mathbb{Z}}) = \varprojlim X(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 上的逆极限拓扑，通过 $X(\mathbb{Z})$ 在 $X(\hat{\mathbb{Z}})$ 中的稠密性来定义强逼近。
• 应用中国剩余定理将 $\hat{\mathbb{Z}} \simeq \prod_p \mathbb{Z}_p$，从而在 $X(\mathbb{Z}_p)$ 上使用 $p$-进拓扑。
• 在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 中使用初等矩阵生成，证明约化映射的满射性，从而确立 $\mathrm{SL}_2$ 的强逼近。
• 利用 $\gamma \in \Gamma$ 的迹环 $A = \mathrm{tr}(\mathrm{Ad} \, \gamma)$ 定义 Zariski 稠密子群的定义环。
• 应用 Weisfeiler 定理，证明对于 Zariski 稠密的有限生成子群 $\Gamma \subset G(k)$，其 adelic 闭包 $\widehat{\Gamma}$ 在 $G(\widehat{A_b})$ 中是开的。
• 利用投影完备化 $\widehat{A_b}$ 和局部化 $A_b$ 构造一个在 $A_b$ 上的群概形，使得 $\Gamma'$ 在 $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ 中稠密嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 约化映射 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 在所有 $m$ 下是否保持满射？
• RQ2 为何 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 尽管与 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 有相似的定义方程，却不满足强逼近？
• RQ3 Weisfeiler 定理如何用于描述单连通半单代数群中 Zariski 稠密子群的 adelic 闭包？
• RQ4 迹环及其局部化在代数闭域上 Zariski 稠密子群的结构理论中起什么作用？
• RQ5 强逼近如何导致线性群中的结构性二分性，例如 Lubotzky 的替代性定理？

主要发现

• 约化映射 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 对所有 $m \geq 1$ 都是满射，从而确立了 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的强逼近。
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 不满足强逼近，因为其在 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 中的像在投影拓扑下不稠密。
• Weisfeiler 定理保证：对于 Zariski 稠密的有限生成子群 $\Gamma \subset G(k)$，存在一个环 $A_b$，使得 $\Gamma'$ 在 $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ 中稠密嵌入。
• 对于 $\Gamma = \langle g_1, \dots, g_d \rangle \subset \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$，存在 $N = N(d,m,n)$，使得对所有素数 $p > N$，有 $\rho_p(\Gamma) = \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)$。
• Lubotzky 的替代性定理指出：在特征零的域上，有限生成的线性群要么是几乎可解的，要么其投影完备化可满射到 $G(\widehat{\mathbb{Z}_\Pi})$，其中 $\Pi$ 是某个有限素数集。
• 在正特征 2 和 3 的情况下，迹环可能不是正确的定义环；Pink 的极小三元组理论为此类情形提供了正确的框架。