[论文解读] On strong homotopy for quasi-schemoids

Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文为拟概形——即带有态射集合分划的小范畴——引入了一种强同伦理论，扩展了范畴论中的同伦概念。通过自然变换定义了同伦关系，并证明了由有限群导出的拟概形上的自同伦等价群同该群的自同构群同构，从而确立了一个捕捉群对称性的同伦不变量。

ABSTRACT

A quasi-schemoid is a small category with a particular partition of the set of morphisms. We define a homotopy relation on the category of quasi-schemoids and study its fundamental properties. As a homotopy invariant, the homotopy set of self-homotopy equivalences on a quasi-schemoid is introduced. The main theorem enables us to deduce that the homotopy invariant for the quasi-schemoid induced by a finite group is isomorphic to the automorphism group of the given group.

研究动机与目标

• 为拟概形发展同伦理论，以范畴术语推广关联方案和广群。
• 通过2-态射（自然变换）在拟概形范畴中定义强同伦关系。
• 识别拟概形的同伦不变量，特别是自同伦等价群。
• 证明对于有限群，其关联拟概形的自同伦等价群同构于该群的自同构群。

提出的方法

• 本文将拟概形定义为满足纤维基数条件的态射集合分划的小范畴，推广了关联方案。
• 通过从Cat的2-范畴结构提升自然变换，在拟概形范畴中引入同伦关系。
• 通过在离散范畴[1]上使用修正的概形结构，引入柱对象的概念，并引入反变对合。
• 证明基于广群的拟概形上的同伦等价保持基点，并在底层广群上诱导自同构。
• 应用范畴同伦理论的结果，包括函子和自然变换的使用，证明在特定条件下同伦等价等价于自函子。
• 利用广群在带基点的拟概形范畴中的全忠实嵌入，将同伦类与自同构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于关联方案在标准范畴同伦论中是收缩的，能否为拟概形建立有意义的同伦理论？
• RQ2 拟概形的自同伦等价如何与其结构对称性相关，特别是当其源自广群时？
• RQ3 由有限群导出的拟概形上的自同伦等价群是否同构于该群的自同构群？
• RQ4 拟概形的2-范畴结构在定义同伦不变量中起什么作用？
• RQ5 为何标准同伦理论在关联概形范畴中失效，需要何种替代的柱构造？

主要发现

• 拟概形的自同伦等价群是一个明确定义的同伦不变量。
• 拟概形的范畴具有2-范畴结构，嵌入了小范畴的范畴。
• 对于有限群G，由G导出的拟概形的自同伦等价群同构于G的自同构群。
• 任何广群上的自函子均在关联拟概形上诱导出自同伦等价。
• 基于广群的拟概形上的同伦等价保持基点，并在底层广群上诱导自同构。
• 在关联概形范畴中，标准同伦构造仅给出相等性（F ~ G 当且仅当 F = G），表明其同伦理论是平凡的。