[论文解读] On strongly just infinite profinite branch groups

François Le Maı̂tre, Phillip Wesolek|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了强有界性性质（如Bergman性质、不可数共尾性、Cayley有界性）与完备分支p进群中自动连续性性质之间的全面等价关系。证明了对于强拟无限的p进分支群，这些组合有界性条件等价于可数指数性质、弱Steinhaus性质以及正规可数指数性质。其主要贡献在于构造了一类新的非离散、紧生成、局部紧、简单且为波兰空间的群（Burger–Mozes通用群），其具有强自动连续性性质，从而以否定方式回答了关于离散群的长期悬而未决问题，并首次在非离散情形下提供了此类例子。

ABSTRACT

For profinite branch groups, we first demonstrate the equivalence of the Bergman property, uncountable cofinality, Cayley boundedness, the countable index property, and the condition that every non-trivial normal subgroup is open; compact groups enjoying the last condition are called strongly just infinite. For strongly just infinite profinite branch groups with mild additional assumptions, we verify the invariant automatic continuity property and the locally compact automatic continuity property. Examples are then presented, including the profinite completion of the first Grigorchuk group. As an application, we show that many Burger-Mozes universal simple groups enjoy several automatic continuity properties.

研究动机与目标

• 通过组合有界性与自动连续性性质，对强拟无限的p进分支群进行刻画。
• 在该类群中，建立Bergman性质、不可数共尾性、Cayley有界性与各种自动连续性条件之间的完全等价关系。
• 将结果应用于Burger–Mozes通用简单群，证明其具有强自动连续性性质。
• 对这些通用群中的共轭子群进行分类，揭示其结构刚性。
• 提供首个非离散、紧生成、局部紧、波兰、简单群的例子，其具有强自动连续性。

提出的方法

• 利用导出子群准则，通过刚性稳定子的开导出子群刻画强拟无限的p进分支群。
• 建立9个条件之间的等价性：Bergman性质、不可数共尾性、Cayley有界性、弱Steinhaus性质、可数指数性质、正规可数指数性质、FA性质，以及开导出子群。
• 在适度假设下（局部错位、一致换位宽度），应用不变自动连续性性质与局部紧自动连续性性质。
• 构造同构于置换群迭代半直积的紧开子群，从而将问题约化为已知的有界性结果。
• 利用Bergman性质与共轭子群技术对Burger–Mozes群中的子群进行分类。
• 利用p进分支群具有唯一波兰群拓扑的事实，且强拟无限群仅允许两种局部紧拓扑：离散与p进拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进分支群中，Bergman性质、不可数共尾性、Cayley有界性与可数指数性质是否等价？
• RQ2 在适度假设下（局部错位、一致换位宽度），是否可为强拟无限的p进分支群建立不变自动连续性与局部紧自动连续性性质？
• RQ3 Burger–Mozes通用简单群U(F)+是否具有强自动连续性性质？
• RQ4 这些通用群中，共轭子群的结构如何？
• RQ5 能否构造出非离散、紧生成、局部紧、波兰、简单群，使其具有强自动连续性？

主要发现

• 对于强拟无限的p进分支群，Bergman性质、不可数共尾性、Cayley有界性、弱Steinhaus性质与可数指数性质全部等价。
• 在适度假设（局部错位、一致换位宽度）下，此类群还具有不变自动连续性性质与局部紧自动连续性性质。
• 第一个Grigorchuk群的p进完备化是一个强拟无限的p进分支群，因此满足上述所有等价性质。
• 当d ≥ 6且F为完美、2-传递群，并由点稳定子群生成时，Burger–Mozes通用简单群U(F)+具有可数指数性质、不变自动连续性与局部紧自动连续性。
• 此类U(F)+的所有共轭子群要么是有限的，要么是紧开的，要么等于整个群，表明其具有强结构刚性。
• 本研究结果首次提供了非离散、紧生成、局部紧、波兰、简单群的例子，其具有强自动连续性性质。