[论文解读] On Strongly Nonlinear Eigenvalue Problems in the Framework of Nonreflexive Orlicz-Sobolev Spaces

Edcarlos D. Silva, J.V. Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在非自反的 Orlicz-Sobolev 空间中，针对由 $Φ$-Laplacian 算子驱动的强非线性特征值问题，建立了非负弱解的存在性与多重性，且无需假设 $Δ_2$ 条件。关键贡献在于，即使在基础空间缺乏自反性的情况下，也通过在精心构造的非自反 Orlicz-Sobolev 空间子空间中运用变分与拓扑方法，证明了当参数 $\lambda$ 足够大时，存在 $m-1$ 个解。

ABSTRACT

It is established existence and multiplicity of solutions for strongly nonlinear problems driven by the $Φ$-Laplacian operator on bounded domains. Our main results are stated without the so called $Δ_{2}$ condition at infinity which means that the underlying Orlicz-Sobolev spaces are not reflexive.

研究动机与目标

• 在非自反的 Orlicz-Sobolev 空间中，建立涉及 $Φ$-Laplacian 算子的强非线性特征值问题弱解的存在性与多重性。
• 去除在无穷远处的标准 $Δ_2$ 条件，该条件通常意味着自反性，从而将结果推广至非自反情形。
• 在非线性项 $f(u)$ 的一般增长条件下分析该问题，包括在指定区间内正负值之间的振荡行为。
• 为处理在完整非自反 Orlicz-Sobolev 空间上未良好定义或非 $C^1$ 的能量泛函，提供一个框架。

提出的方法

• 利用通过满足特定增长与单调性条件的 $C^1$ 函数 $\phi$ 定义的 $Φ$-Laplacian 算子。
• 在 Orlicz-Sobolev 空间 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ 中工作，其中 $\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$，且不假设 $\Delta_2$ 条件。
• 采用变分与拓扑方法，包括上下解法，以证明多重解的存在性。
• 构造 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ 的适当子空间，使得能量泛函在此类子空间中良好定义并能取得临界点。
• 应用非自反 Orlicz 空间中的广义 Green 公式与迹理论，以刻画 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ 中函数的零迹条件。
• 通过将 $f$ 扩展为奇函数，获得至少 $2(m-1)$ 个解，其符号对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自反 Orlicz-Sobolev 空间中，且不假设 $Δ_2$ 条件时，是否能保证 $Φ$-Laplacian 问题存在多个非负弱解？
• RQ2 非线性项 $f(u)$ 需满足何种条件，可确保存在 $m-1$ 个具有指定 $L^\infty$-范数界的不同解？
• RQ3 当能量泛函在完整非自反 Orlicz-Sobolev 空间上既非 $C^1$ 也未良好定义时，变分方法应如何调整？
• RQ4 共轭函数 $\tilde{\Phi}$ 与迹理论在非自反情形下刻画零迹空间 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ 时起何作用？

主要发现

• 对每个 $\lambda > \overline{\lambda}$，在 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 中至少存在 $m-1$ 个非负弱解 $u_1, \dots, u_{m-1}$，且满足 $\|u_k\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$。
• 在条件 $(f_1)$--$(f_3)$ 下，即使由于缺少 $\Delta_2$ 条件而导致 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ 非自反，仍可保证存在 $m-1$ 个解。
• 逆命题成立：若非负解 $u$ 满足 $\|u\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$，则必有 $\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(s)\,ds > 0$。
• 本结果扩展了 Hess 与 Loc–Schmitt 在 $p$-Laplacian 情形下的先前工作，推广至更一般的 $Φ$-Laplacian 在非自反空间中的情形。
• 涵盖的非自反 $Φ$-函数的实例包括：$\Phi(t) = e^t - t + 1$，$\Phi(t) = (1+t^2)^\gamma - 1$（$\gamma > 1/2$），以及 $\Phi(t) = t^p \log(1+t)$（$p \geq 1$）。
• 通过将 $f$ 扩展为奇函数，至少存在 $2(m-1)$ 个弱解：$m-1$ 个正解与 $m-1$ 个负解，每类解的 $L^\infty$-范数均位于区间 $(a_k, a_{k+1}]$ 内。