[论文解读] On strongly norm attaining Lipschitz operators

B. Cascales, Rafa Chiclana+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文研究了在度量空间 M 和巴拿赫空间 Y 上强 attained 其利普希茨范数的利普希茨映射集合 SNA(M,Y)。研究发现，当 M 为长度空间或 R 的正测度闭子集时，SNA(M,Y) 不是范数稠密的；然而，在利普希茨自由空间 F(M) 满足某些线性条件时，其范数稠密性得以成立；同时，本文还证明了 SNA(M,R) 的弱序列稠密性以及在离散 M 条件下其对偶范数的八边形性。

ABSTRACT

We study the set $\operatorname{SNA}(M,Y)$ of those Lipschitz maps from a (complete pointed) metric space $M$ to a Banach space $Y$ which (strongly) attain their Lipschitz norm (i.e. the supremum defining the Lipschitz norm is a maximum). Extending previous results, we prove that this set is not norm dense when $M$ is a length space (or local) or when $M$ is a closed subset of $\mathbb{R}$ with positive Lebesgue measure, providing new examples which have very different topological properties than the previously known ones. On the other hand, we study the linear properties which are sufficient to get Lindenstrauss property A for the Lipschitz-free space $\mathcal{F}(M)$ over $M$, and show that all of them actually provide the norm density of $\operatorname{SNA}(M,Y)$ in the space of all Lipschitz maps from $M$ to any Banach space $Y$. Next, we prove that $\operatorname{SNA}(M,\mathbb{R})$ is weakly sequentially dense in the space of all Lipschitz functions for all metric spaces $M$. Finally, we show that the norm of the bidual space of $\mathcal{F}(M)$ is octahedral provided the metric space $M$ is discrete but not uniformly discrete or $M'$ is infinite.

研究动机与目标

• 刻画强 attained 其利普希茨范数的映射集合 SNA(M,Y) 的拓扑性质。
• 确定 SNA(M,Y) 在所有从 M 到 Y 的利普希茨映射空间中稠密的条件。
• 研究利普希茨自由空间 F(M) 的线性性质与 SNA(M,Y) 稠密性之间的关系。
• 建立 SNA(M,R) 在实值利普希茨函数空间中的弱序列稠密性。
• 在特定度量空间条件下，分析 F(M) 的对偶空间范数的八边形性。

提出的方法

• 通过分析度量空间 M 上利普希茨自由空间 F(M) 的结构，扩展了关于 SNA(M,Y) 范数稠密性的先前结果。
• 应用泛函分析与度量几何的技术，研究利普希茨范数及其达到行为。
• 利用长度空间与局部结构的概念，构造出 SNA(M,Y) 不是范数稠密的反例。
• 应用一致离散性与导集 M' 的概念，刻画 F(M) 的对偶范数为八边形的条件。
• 在实值利普希茨函数空间中采用弱序列稠密性论证，证明 SNA(M,R) 是弱序列稠密的。
• 分析 M 的几何性质与 F(M) 的线性性质之间的相互作用，推导出 SNA(M,Y) 范数稠密性的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种度量空间 M 的条件下，强范数达到的利普希茨映射集合 SNA(M,Y) 在所有从 M 到 Y 的利普希茨映射空间中是稠密的？
• RQ2 SNA(M,Y) 的范数稠密性能否由利普希茨自由空间 F(M) 的线性性质保证？
• RQ3 对于任意度量空间 M，SNA(M,R) 是否在所有实值利普希茨函数空间中弱序列稠密？
• RQ4 在何种条件下，F(M) 的对偶空间范数是八边形的，特别是对于离散度量空间？
• RQ5 M 的哪些拓扑与几何性质会导致 SNA(M,Y) 的范数稠密性失效，即使 M 是 R 的正测度闭子集？

主要发现

• 当 M 为长度空间或 R 的正勒贝格测度闭子集时，SNA(M,Y) 不是范数稠密的，提供了具有独特拓扑特征的新反例。
• 若利普希茨自由空间 F(M) 满足某些线性性质，则 SNA(M,Y) 的范数稠密性成立，该结果推广了先前结果。
• 对于任意度量空间 M，SNA(M,R) 在所有实值利普希茨函数空间中是弱序列稠密的。
• 若 M 是离散但非一致离散的，或其导集 M' 是无限的，则 F(M) 的对偶空间范数为八边形。
• 本文建立了 M 的几何结构与 F(M) 对偶范数八边形性之间的联系，拓展了巴拿赫空间理论中的已知结果。
• 结果表明，SNA(M,Y) 的拓扑行为在很大程度上取决于 M 的度量与拓扑性质，如是否为长度空间或在 R 中具有正测度。