[论文解读] On structure of regular Dirichlet subspaces for one-dimensional Brownian motion

Liping Li, Jiangang Ying|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文利用迹方法研究了一维布朗运动的正则Dirichlet子空间的结构。结果表明，该子空间在测度稠密集 $G$ 的边界 $F = G^c$ 上的迹是一个非局部Dirichlet型，而其正交补则通过补洞变换对应于一个时间改变的吸收布朗运动，揭示了迹过程的局部与非局部分量的分解。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to explore the structure of regular subspaces of 1-dim Brownian motion. As outlined in \cite{FMG} every such regular subspace can be characterized by a measure-dense set $G$. When $G$ is open, $F=G^c$ is the boundary of $G$ and, before leaving $G$, the diffusion associated with the regular subspace is nothing but Brownian motion. Their traces on $F$ still inherit the inclusion relation, in other words, the trace Dirichlet form of regular subspace on $F$ is still a regular subspace of trace Dirichlet form of one-dimensional Brownian motion on $F$. Moreover we have proved that the trace of Brownian motion on $F$ may be decomposed into two part, one is the trace of the regular subspace on $F$, which has only the non-local part and the other comes from the orthogonal complement of the regular subspace, which has only the local part. Actually the orthogonal complement of regular subspace corresponds to a time-changed Brownian motion after a darning transform.

研究动机与目标

• 理解一维布朗运动的正则Dirichlet子空间的内在结构，超越其定义域差异的层面。
• 分析Dirichlet子空间在边界 $F = G^c$ 上的迹与原始布朗运动迹之间的关系。
• 将布朗运动在 $F$ 上的迹Dirichlet型分解为非局部部分（来自子空间）与局部部分（来自其正交补）。
• 通过补洞变换，表征正则Dirichlet子空间的正交补为一个时间改变的吸收布朗运动。

提出的方法

• 应用迹方法，对测度稠密集 $G$ 的边界 $F = G^c$ 上的一维布朗运动的Dirichlet型进行分解。
• 证明该正则Dirichlet子空间在 $F$ 上的迹继承包含关系，并仅包含迹型的非局部部分。
• 识别出子空间迹的正交补为强局部Dirichlet型，对应于一个时间改变的吸收布朗运动。
• 使用补洞变换构造正交补的正则表示，表明其等价于在修改的状态空间 $\mathbb{R}^*_0$ 上的时间改变布朗运动。
• 对迹型应用Beurling-Deny分解，以分离局部与非局部分量。
• 分析依赖于通过缩放函数 $s(x) = \int_0^x \mathbf{1}_G(y)\,dy$ 表征正则Dirichlet子空间，且速度测度为Lebesgue测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则Dirichlet子空间在边界 $F = G^c$ 上的迹与原始一维布朗运动的迹之间有何关系？
• RQ2 布朗运动在 $F$ 上的迹Dirichlet型能否分解为非局部部分与局部部分？
• RQ3 正则Dirichlet子空间在迹空间中的正交补的随机解释是什么？
• RQ4 补洞变换如何与迹子空间正交补的正则表示相关联？
• RQ5 正则Dirichlet子空间在 $F$ 上的迹是否仅包含迹型的非局部分量？

主要发现

• 在 $F = G^c$ 上，正则Dirichlet子空间的迹是一维布朗运动在 $F$ 上迹的正则Dirichlet子空间，且仅包含Beurling-Deny分解中的非局部部分。
• 迹子空间的正交补为强局部Dirichlet型，其Beurling-Deny分解仅包含扩散（局部）部分。
• 正交补在 $\mathbb{R}^*_0$ 上具有时间改变吸收布朗运动的正则表示，速度测度为 $\mu^*_0 = m^*_0$。
• 补洞变换为正交补的D-空间提供了共同的正则表示，表明其等价于一个时间改变的吸收布朗运动。
• 布朗运动在 $F$ 上的迹过程可分解为两个正交部分：一部分来自子空间（非局部），另一部分来自其补集（局部），后者等价于一个时间改变的吸收布朗运动。
• 若子空间为常返，则该分解在常数意义下唯一，且迹型满足 $\check{\mathcal{F}}_{\text{e}} = \check{\mathcal{F}}^{(s)}_{\text{e}} \oplus \check{\mathcal{G}}^{(s)}$。