[论文解读] On structured surfaces with defects: geometry, strain incompatibility, internal stress, and natural shapes

Ayan Roychowdhury, Anurag Gupta|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Advanced Materials and Mechanics参考文献 50被引用 3

一句话总结

本文提出了一种微分几何框架，用于建模二维有序表面（如石墨烯、液晶和薄壳）中的缺陷——平移性、旋转性和度量性缺陷。通过将缺陷密度视为应变不相容性的源项，并结合运动学分解与弹性本构关系，该理论可预测内应力场和自然变形形状，从而为小面内应变和中等转动的基尔霍夫-洛夫壳体提供统一的理论表述。

ABSTRACT

Given a distribution of defects on a structured surface, such as those represented by 2-dimensional crystalline materials, liquid crystalline surfaces, and thin sandwiched shells, what is the resulting stress field and the deformed shape? Motivated by this concern, we first classify, and quantify, the translational, rotational, and metrical defects allowable over a broad class of structured surfaces. With an appropriate notion of strain, the defect densities are then shown to appear as sources of strain incompatibility. The strain incompatibility relations, with appropriate kinematical assumptions on the decomposition of strain into elastic and plastic parts, and the stress equilibrium relations, with a suitable choice of material response, provide the necessary equations for determining both the internal stress field and the deformed shape. We demonstrate this by applying our theory to Kirchhoff-Love shells with a kinematics which allows for small in-surface strains but moderately large rotations.

研究动机与目标

• 建立一个统一的几何与力学框架，用于分析二维有序表面（包括二维晶体、液晶和薄壳）中的缺陷。
• 利用微分几何对有序表面上的平移性（位错）、旋转性（涡旋）和度量性（空位、生长）缺陷进行分类与量化。
• 推导缺陷密度与应变不相容性之间的关系，从而实现对内应力和变形形状的预测。
• 通过引入塑性应变和曲率效应，将经典板壳理论推广至包含连续缺陷分布的情形。
• 提供一种系统化方法，在运动学与本构假设下，确定缺陷二维表面的自然（无应力）形状与内应力场。

提出的方法

• 使用非欧几里得微分几何，将缺陷建模为表面度量、联络和曲率中的几何不相容性。
• 通过表面内扭转（位错）、曲率（涡旋）和非度量性（度量异常）张量引入缺陷密度。
• 将应变分解为弹性与塑性部分，应变不相容性源于黎曼曲率张量中的缺陷源项。
• 通过在控制方程中引入缺陷引起的塑性应变场，将Föppl-von Kármán方程应用于薄壳。
• 推导二维应力平衡的艾里应力函数表述，将应力分量与双调和算子及缺陷源项联系起来。
• 利用总应变的相容性条件与弯曲及膜刚度的本构关系，求解边值问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用微分几何对有序二维表面上的平移性、旋转性和度量性缺陷进行系统分类与量化？
• RQ2 缺陷二维表面中应变不相容性的几何起源是什么？它与缺陷密度有何关系？
• RQ3 缺陷分布如何影响薄弹性表面的内应力场与自然（无应力）变形形状？
• RQ4 Föppl-von Kármán方程能否通过引入塑性应变与曲率源项，推广至包含连续缺陷分布的情形？
• RQ5 由生长或热效应引起的度量异常如何导致二维材料的形状失稳与残余应力？

主要发现

• 结果表明，位错、涡旋和度量异常等缺陷通过黎曼曲率张量充当应变不相容性的源项。
• 应变不相容性方程由Bianchi-Padova恒等式导出，其表达形式为缺陷密度场（扭转、曲率与非度量性）的函数。
• 对于基尔霍夫-洛夫壳体，控制方程简化为带有缺陷相关源项的Föppl-von Kármán方程：$Dw_{,\beta\beta\beta\beta} + [w,\theta] = D\tilde{\theta}_p$ 与 $\frac{1}{E}\theta_{,\beta\beta\beta\beta} - \frac{1}{2}[w,w] = -\tilde{\theta}_p$。
• 在弯曲刚度为零的膜中，自然形状由非齐次Monge-Ampère方程控制：$[w,w] = 2\tilde{\theta}_p$，其中 $\tilde{\theta}_p$ 为塑性应变贡献。
• 该理论成功预测了石墨烯和脂质膜等缺陷二维材料的自然形状与内应力，包括由生长引起的度量异常情形。
• 该框架可扩展至全局拓扑缺陷（如环面或莫比乌斯面）及非凸材料响应，从而实现对褶皱与相变图案的建模。