[论文解读] On Subcomplete Forcing

Kaethe Minden|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了子完备力迫，这是 Jensen 引入的一类集合论力迫概念，其推广了可数闭力迫。本文证明了子完备力迫保持了 $ω_1$-树的关键性质，例如 Suslin 树的唯一分支性质，并证明了子完备最大原理与子完备复活公理相对于大基数的等一致性，同时表明对角 Prikry 力迫是子完备的。

ABSTRACT

I survey an array of topics in set theory in the context of a novel class of forcing notions: subcomplete forcing. Subcompleteness was originally defined by Ronald Jensen. I have attempted to make the subject somewhat more approachable to set theorists, while showing various properties of subcomplete forcing which one might desire of a forcing class, drawing comparisons between subcomplete forcing and countably closed forcing. In particular, I look at the interaction between subcomplete forcing and $ω_1$-trees, preservation properties of subcomplete forcing, the subcomplete maximality principle, the subcomplete resurrection axiom, and show that generalized diagonal Prikry forcing is subcomplete.

研究动机与目标

• 通过澄清其定义和性质，使子完备力迫对集合论学家更加易懂。
• 研究子完备力迫与 $ω_1$-树的相互作用，特别是其对 Suslin 树唯一分支性质的保持。
• 分析子完备最大原理（MP$_{sc}$）的一致性强度，并与可数闭最大原理进行比较。
• 在 $H_{\omega_2}$ 的背景下定义并研究子完备复活公理（RA$_{sc}$），并确定其一致性强度。
• 检查子完备最大原理与子完备复活公理是否可以一致成立，识别所需的大型基数假设。

提出的方法

• 改编并扩展了 Barwise 理论与提升论证技术，以在初等嵌入与通用扩张的背景下分析子完备力迫。
• 使用广义对角 Prikry 通用性准则，证明对角 Prikry 力迫是子完备的。
• 在模型中应用完备性与 $σ$-完备性的概念，以验证子完备力迫概念的通用性与闭包性质。
• 运用迭代定理与提升论证，表明子完备力迫保持了 stationary 子集与树性质。
• 应用模态逻辑框架分析子完备最大原理及其局部变体。
• 结合大型基数假设——特别是强提升完全反射基数——以迫使 MP$_{sc}$ 与 RA$_{sc}$ 同时一致成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 子完备力迫是否保持了 Suslin 树的唯一分支性质？
• RQ2 子完备最大原理（MP$_{sc}$）的一致性强度为何？其与可数闭最大原理相比如何？
• RQ3 当在 $H_{\omega_2}$ 背景下表述时，子完备复活公理（RA$_{sc}$）是否与提升基数等一致？
• RQ4 子完备最大原理与子完备复活公理是否可以一致成立？若可以，需要何种大型基数强度？
• RQ5 对角 Prikry 力迫是否为子完备？它是否满足广义对角 Prikry 通用性准则？

主要发现

• 子完备力迫不会向 $ω_1$-树添加新的 cofinal 分支，并保持了 Suslin 树的唯一分支性质。
• 粗体子完备最大原理（MP$_{sc}$）与完全反射基数等一致，与可数闭情况类似。
• 在 $H_{\omega_2}$ 背景下表述时，子完备复活公理（RA$_{sc}$）与提升基数等一致。
• 子完备最大原理与子完备复活公理并不直接相互蕴含，但两者可以一致共存。
• MP$_{sc}$ 与 RA$_{sc}$ 的同时一致性与强提升完全反射基数的存在性等一致。
• 通过对角 Prikry 通用性准则与初等子结构中的提升论证，表明对角 Prikry 力迫是子完备的。