[论文解读] On subgraphs of $C_{2k}$-free graphs and a problem of K\"uhn and Osthus

Dániel Grósz, Abhishek Methuku+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用 1

一句话总结

该论文通过证明任意C6-自由图中，其二分C4-自由子图的最大边密度恰好为3/8，解决了极值图论中一个长期存在的问题，达到了此前猜想的下界。作者利用概率超图构造方法以及Erdős关于高圈长图中二分子图结果的推广，构建了C2k-自由图，使其难以包含大型高圈长或C4-自由的二分子图。

ABSTRACT

Let $c$ denote the largest constant such that every $C_{6}$-free graph $G$ contains a bipartite and $C_4$-free subgraph having $c$ fraction of edges of $G$. Gy\H{o}ri et al. showed that $\frac{3}{8} \le c \le \frac{2}{5}$. We prove that $c=\frac{3}{8}$. More generally, we show that for any $\varepsilon>0$, and any integer $k \ge 2$, there is a $C_{2k}$-free graph $G_1$ which does not contain a bipartite subgraph of girth greater than $2k$ with more than $\left(1-\frac{1}{2^{2k-2}} ight)\frac{2}{2k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_1$. There also exists a $C_{2k}$-free graph $G_2$ which does not contain a bipartite and $C_4$-free subgraph with more than $\left(1-\frac{1}{2^{k-1}} ight)\frac{1}{k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_2$. One of our proofs uses the following statement, which we prove using probabilistic ideas, generalizing a theorem of Erd\H{o}s: For any $\varepsilon>0$, and any integers $a$, $b$, $k \ge 2$, there exists an $a$-uniform hypergraph $H$ of girth greater than $k$ which does not contain any $b$-colorable subhypergraph with more than $\left(1-\frac{1}{b^{a-1}} ight)\left(1+\varepsilon ight)$ fraction of the hyperedges of $H$. We also prove further generalizations of this theorem. In addition, we give a new and very short proof of a result of K\"uhn and Osthus, which states that every bipartite $C_{2k}$-free graph $G$ contains a $C_{4}$-free subgraph with at least $1/(k-1)$ fraction of the edges of $G$. We also answer a question of K\"uhn and Osthus about $C_{2k}$-free graphs obtained by pasting together $C_{2l}$'s (with $k>l\ge3$).

研究动机与目标

• 解决关于C6-自由图中二分C4-自由子图最大边密度为3/8的猜想。
• 将Erdős关于高圈长图中二分子图的结果推广至超图及固定着色设定。
• 构建C2k-自由图，使其不包含大型圈长大于2k或二分且C4-自由的子图，从而建立紧致上界。
• 为Kühn和Osthus关于C2k-自由二分图中C4-自由子图的结果提供一种新的简洁证明。
• 回答Kühn和Osthus关于通过拼接C2l-圈（k > l ≥3）构造的C2k-自由图的问题。

提出的方法

• 使用概率构造方法生成高圈长的a-一致超图，且其无大型b-可着色子超图。
• 通过证明：对任意ε > 0，存在a-一致超图，其圈长大于k，且其b-可着色子超图的超边占比不超过(1 − 1/b^{a−1})(1+ε)，从而推广Erdős的结果。
• 将高圈长超图中的超边替换为固定的小图（如C6），以构建具有受控子图结构的C2k-自由图。
• 应用双着色与边删除过程，在保留大量边的同时消除C4，从而证明3/8的边界。
• 利用超图的2-阴影及圈结构分析，证明所构造图中不含C8。
• 利用线性性与顶点替换技术，确保边的唯一性并控制子图密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最优常数c，使得每个C6-自由图都包含一个边数不少于c·e(G)的二分C4-自由子图？
• RQ2 c的上界2/5能否改进，且3/8是否为紧致上界？
• RQ3 是否存在C2k-自由图，其不包含圈长大于2k的大型二分子图，或不包含二分且C4-自由的大型子图？
• RQ4 Erdős关于高圈长图中二分子图的结果能否推广至具有固定着色约束的超图？
• RQ5 通过拼接C2l-圈构造的C2k-自由图中，其二分C4-自由子图的最大边密度是多少？

主要发现

• 该论文证明了C6-自由图中最优常数c恰好为3/8，解决了Győri、Kensell与Tompkins的猜想。
• 对任意ε > 0和k ≥2，存在C2k-自由图G，其不包含圈长大于2k的二分子图，且其边数占比超过(1 − 1/2^{2k−2}) · 2/(2k−1) · (1+ε)。
• 存在C2k-自由图G，其不包含二分且C4-自由的子图，且其边数占比超过(1 − 1/2^{k−1}) · 1/(k−1) · (1+ε)。
• 作者构建了一个含2n个顶点的C8-自由图，其平均度数至少为6·n^{1/9}，由拼接C6构成，确认了拼接C2k-自由图的构造结果。
• 为Kühn和Osthus的结果提供了新的简洁证明：每个C2k-自由二分图都包含一个边数不少于其1/(k−1)的C4-自由子图。
• 论文建立了Erdős定理的超图推广：对任意ε > 0，存在圈长大于k的a-一致超图，其无b-可着色子超图的超边占比超过(1 − 1/b^{a−1})(1+ε)。