[论文解读] On Subvarieties of Abelian Varieties with degenerate Gauss mapping

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文建立了在阿贝尔簇子簇上的切空间高斯映射与余切丛高斯映射之间的对偶性。证明了若从余切丛的法丛 $Λ_Y$ 到对偶李代数 $T_0^*(X)$ 的投影不是主导的，则子簇 $Y$ 是退化的——即它在某个正维数的阿贝尔子簇的平移下不变。该结果通过 D-模理论与特征簇，推广了 Abramovich 关于经典高斯映射的定理。

ABSTRACT

We show that for an irreducible subvariety Y of an abelian variety X the Gauss mapping, from the conormal bundle of $Y$ to the dual of the tangent space of $X$ at the origin, is not dominant if and only if Y is degenerate in the sense that there exists a nontrivial abelian subvariety A of X such that A+Y=Y holds

研究动机与目标

• 建立阿贝尔簇子簇上经典切空间高斯映射与余切空间高斯映射之间的对偶性。
• 通过余切丛中法丛上的高斯映射非主导性来刻画退化子簇。
• 将高斯映射 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ 的通用次数与 $Y$ 的奇点及 $Y$ 的 perverse 欧拉-庞加莱特征联系起来。
• 证明对于通用雅可比簇的 theta 除子，其交会上同调 D-模的特征簇中唯一的特征子簇是 $Y$ 本身。

提出的方法

• 将 $\Lambda_Y \subset T^*(X) \cong X \times T_0^*(X)$ 定义为与不可约子簇 $Y \subset X$ 相关的不可约拉格朗日子簇。
• 研究投影 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$，分析其主导性与通用有限性。
• 利用 Riemann-Hilbert 对应，将 perverse 交会上同调层 $IC_Y[d]$ 与具有特征簇 $Ch(K)$ 的正则 $D$-模联系起来。
• 应用 D-模理论结果，将欧拉-庞加莱特征 $\chi_Y$ 表示为 $\Lambda_{Y_\nu}$ 各分量的通用次数 $d(Y_\nu)$ 之和。
• 通过商映射 $q: X \to B = X/A$ 的纤维分析与归纳法，分析 $\gamma$ 的像，并从维数假设导出矛盾。
• 利用 $\gamma$ 通用有限，除非 $Y$ 在某个正维数阿贝尔子簇的平移下不变这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么情况下，从法丛 $\Lambda_Y$ 到 $T_0^*(X)$ 的高斯映射 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ 不是主导的？
• RQ2 高斯映射 $\gamma$ 的非主导性如何反映 $Y$ 在 $X$ 中的几何结构？
• RQ3 特征簇 $Ch(IC_Y[d])$ 在确定 $Y$ 的奇点中起什么作用？
• RQ4 对于通用雅可比簇的 theta 除子，是否存在除 $Y$ 本身外的其他特征子簇？
• RQ5 高斯映射 $\gamma: \Lambda_{Y_\nu} \to T_0^*(X)$ 的通用次数 $d(Y\_\nu)$ 如何与欧拉-庞加莱特征 $\chi_Y$ 相关？

主要发现

• 高斯映射 $\gamma: \Lambda_Y \to T_0^*(X)$ 不是主导的，当且仅当 $Y$ 是退化的，即在 $X$ 的某个正维数阿贝尔子簇的平移下不变。
• 该结果通过 D-模理论方法推广了 Abramovich 关于经典高斯映射 $\Gamma: S \to Gr(d, T_0(X))$ 的定理。
• 对于通用曲线的雅可比簇的 theta 除子 $Y$，其交会上同调 D-模的特征簇中唯一的特征子簇是 $Y$ 本身，因此 $\chi_Y = d(Y)$。
• 交会上同调的欧拉-庞加莱特征 $\chi_Y$ 等于特征簇 $Ch(IC_Y[d])$ 中各分量 $\Lambda_{Y_\nu}$ 的通用次数 $d(Y_\nu)$ 之和。
• 除非 $Y$ 在某个正维数阿贝尔子簇的平移下不变，否则法丛 $\Lambda_Y$ 到 $T_0^*(X)$ 的映射是主导的，该结论通过纤维维数与有限态射的矛盾论证得到证明。
• 证明利用了商映射 $X \to X/A$ 的结构，并通过一个态射 $\varphi = (q \circ p_S, T^*(i) \circ \gamma)$ 分析 $\gamma$ 的像，表明当 $\gamma$ 非主导时，有限纤维与正维数纤维矛盾。