[论文解读] On subvarieties with nef normal bundle

Chung-Ching Lau|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

本文引入了法正子概形（nef subscheme）的概念，将其作为法正正则丛子簇的推广，并证明了伪有效与大除子在限制到此类子簇时仍保持其性质。本文证明了充分性与法正性的传递性，通过法正子簇的像映射定义了弱可动锥，并表明q-充分性可从余维r的子概形提升，扩展了Demailly-Peternell-Schneider的结果，使用了Totaro的q-充分性理论。

ABSTRACT

The goal of this work is to study positivity of subvarieties with nef normal bundle in the sense of intersection theory. After Ottem's work on ample subschemes, we introduce the notion of a nef subscheme, which generalizes the notion of a subvariety with nef normal bundle. We show that restriction of a pseudoeffective (resp. big) divisor to a nef subvariety is pseudoeffective (resp. big). We also show that ampleness and nefness are transitive properties. We define the weakly movable cone as the cone generated by the pushforward of cycle classes of nef subvarieties via proper surjective maps. This cone contains the movable cone and shares similar intersection-theoretic properties with it, thanks to the aforementioned properties of nef subvarieties. On the other hand, we prove that if $Y\subset X$ is an ample subscheme of codimension $r$ and $D|_Y$ is $q$-ample, then $D$ is $(q+r)$-ample. This is analogous to a result proved by Demailly-Peternell-Schneider. We use the theory of $q$-ample divisors, as developed by Totaro, throughout the paper.

研究动机与目标

• 通过引入法正子概形的概念，推广具有法正正则丛的子簇。
• 研究伪有效与大除子在限制到法正子簇时的行为。
• 在子概形的背景下，建立充分性与法正性的传递性。
• 通过法正子簇的像映射，定义并研究弱可动锥，作为可动锥的推广。
• 利用Totaro的q-充分除子理论，将Demailly-Peternell-Schneider关于q-充分性的结果推广至更高余维的子概形。

提出的方法

• 将法正子概形的概念引入，作为具有法正正则丛子簇的推广。
• 使用交点理论技术，分析伪有效与大除子在法正子簇上的限制。
• 通过分析cycle类与正规满射态射，证明充分性与法正性的传递性。
• 将弱可动锥定义为在正规满射态射下，法正子簇的cycle类的像所生成锥的闭包。
• 应用Totaro的q-充分除子理论，证明：若 $ D|_Y $ 是q-充分的，且 $ Y \subset X $ 是余维 $ r $ 的充分子概形，则 $ D $ 是 $ (q+r) $-充分的。
• 利用具有法正正则丛的子概形上伪有效与大除子的性质，推导出交点理论的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 法正子概形的概念在正性方面，如何推广具有法正正则丛的子簇？
• RQ2 当限制到法正子簇时，除子的伪有效与大性质会发生什么变化？
• RQ3 在具有法正正则丛的子概形背景下，充分性或法正性是否具有传递性？
• RQ4 弱可动锥与可动锥之间有何关系？它从法正子簇继承了哪些交点理论性质？
• RQ5 q-充分性在多大程度上可从子概形提升至整体空间，特别是在更高余维的情形下？

主要发现

• 伪有效除子限制到法正子簇后，仍为伪有效。
• 大除子限制到法正子簇后，仍为大。
• 对于具有法正正则丛的子概形，充分性与法正性是传递性质。
• 由法正子簇的cycle类的像所生成的弱可动锥，包含可动锥，并继承了类似的交点理论性质。
• 若 $ Y \subset X $ 是余维 $ r $ 的充分子概形，且 $ D|_Y $ 是q-充分的，则 $ D $ 是 $ (q+r) $-充分的。
• Totaro所发展的q-充分除子理论，为从子概形向整体空间提升充分性性质提供了关键技术框架。