[论文解读] On Sum--Connectivity Index of Bicyclic Graphs

Zhibin Du, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Graph theory and applications参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文确定了在给定约束下使总连通性指数最小化和最大化的极值双环图：对于具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的双环图，它识别出唯一实现最小指数的图；对于 $ n \geq 5 $，它刻画了具有最大和第二大的指数的图，表明最大值由 $ \mathbf{B}_1^{(1)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(1)}(n) $ 中的图实现，第二大的值由 $ \mathbf{B}_1^{(2)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(2)}(n) $ 中的图实现，并为极值指数提供了显式公式。

ABSTRACT

We determine the minimum sum--connectivity index of bicyclic graphs with $n$ vertices and matching number $m$, where $2\le m\le \lfloor\frac{n}{2} floor$, the minimum and the second minimum, as well as the maximum and the second maximum sum--connectivity indices of bicyclic graphs with $n\ge 5$ vertices. The extremal graphs are characterized.

研究动机与目标

• 确定在具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的双环图中，总连通性指数的最小值，其中 $ 2 \leq m \leq \lfloor n/2 \rfloor $。
• 识别在 $ n \geq 5 $ 的所有 $ n $-顶点双环图中，实现最小和第二小总连通性指数的图。
• 确定在所有 $ n $-顶点双环图中，实现最大和第二大的总连通性指数的图，其中 $ n \geq 5 $。
• 完全刻画实现这些极值指数值的极值图。

提出的方法

• 作者将总连通性指数定义为 $ \chi(G) = \sum_{uv \in E(G)} \frac{1}{\sqrt{d_G(u) + d_G(v)}} $，其中 $ d_G(u) $ 表示图 $ G $ 中顶点 $ u $ 的度数。
• 他们根据环结构以及路径或悬挂顶点的连接方式，将双环图划分为五类：$ \mathbf{B}_1^{(1)}(n) $，$ \mathbf{B}_1^{(2)}(n) $，$ \mathbf{B}_2(n) $，$ \mathbf{B}_3^{(1)}(n) $，和 $ \mathbf{B}_3^{(2)}(n) $。
• 他们使用基于度数的不等式和图变换技术，比较不同图构型下的 $ \chi(G) $ 值。
• 应用引理分析顶点和边删除对总连通性指数的影响，特别关注度数为 2 和 3 的顶点。
• 通过已知边界和函数 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ 的单调性性质，对 $ \chi(G) $ 值进行迭代比较，以识别极值图。
• 证明依赖于基于环长和顶点度数的结构分解与案例分析，尤其关注共享一个顶点或一条边的一个或两个环的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的双环图，其中 $ 2 \leq m \leq \lfloor n/2 \rfloor $，哪一个图使总连通性指数最小？
• RQ2 在所有 $ n $-顶点双环图中，哪些图具有最小和第二小的总连通性指数，其中 $ n \geq 5 $？
• RQ3 在所有 $ n $-顶点双环图中，哪些图具有最大和第二大的总连通性指数，其中 $ n \geq 5 $？
• RQ4 不同双环图族的总连通性指数如何比较？哪些结构特征导致极值结果？

主要发现

• 对于具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的双环图，总连通性指数的最小值唯一由图 $ B_{n,m} $ 实现，该图由两个共享一个顶点的三角形构成，且在公共顶点上附加了 $ m-3 $ 条长度为二的路径和 $ n-2m+1 $ 个悬挂顶点。
• 对于 $ n \geq 5 $，总连通性指数的最大值唯一由 $ \mathbf{B}_1^{(1)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(1)}(n) $ 中的图实现，其指数值为 $ \chi(G) = \frac{n-4}{2} + \frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{4}{\sqrt{5}} $。
• 第二大的总连通性指数唯一由 $ \mathbf{B}_1^{(2)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(2)}(n) $ 中的图实现，其指数值为 $ \chi(H) = \frac{n-5}{2} + \frac{6}{\sqrt{5}} $。
• 对于 $ n \geq 5 $，最小和第二小的指数由 $ \widetilde{\mathbb{B}}(n) $ 中的特定构型实现，即不含悬挂顶点的 $ n $-顶点双环图集合。
• 实现最大指数的极值图是两个环通过一条边连接，或在长度为 $ n $ 的环上添加一条弦的图，具体取决于 $ n $。
• 分析确认，对于 $ G \in \mathbf{B}_1^{(1)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(1)}(n) $ 和 $ H \in \mathbf{B}_1^{(2)}(n) \cup \mathbf{B}_3^{(2)}(n) $，有 $ \chi(G) > \chi(H) $，且两者均超过 $ \mathbf{B}_2(n) $ 中图的指数。