[论文解读] On sum sets of convex functions

Sophie Stevens, Audie Warren|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文利用源自近期和积文献的统一正则化技术，为凸函数与凹函数的和集建立了新界限。证明了 |A+B|³⁸|f(A)+g(B)|³⁸ ≳ |A|⁴⁹|B|⁴⁹，从而在二元扩张子与非对称和积问题中实现了更优的指数，包括 |AB+A| ≳ |A|³ᐟ²⁺³ᐟ¹⁷⁰。

ABSTRACT

In this paper we prove new bounds for sums of convex or concave functions. Specifically, we prove that for all $A,B \subseteq \mathbb R$ finite sets, and for all $f,g$ convex or concave functions, we have $$|A + B|^{38}|f(A) + g(B)|^{38} \gtrsim |A|^{49}|B|^{49}.$$ This result can be used to obtain bounds on a number of two-variable expanders of interest, as well as to the asymmetric sum-product problem. We also adjust our technique to also prove the three-variable expansion result \[ |AB+A|\gtrsim |A|^{\frac32 +\frac3{170}}\,. \] Our methods follow a series of recent developments in the sum-product literature, presenting a unified picture. Of particular interest is an adaptation of a regularisation technique of Xue, that enables us to find positive proportion subsets with certain desirable properties.

研究动机与目标

• 为有限实数集上的凸或凹函数和集建立定量改进。
• 将近期和积技术推广，以获得更强的二元扩张子与非对称和积问题的界限。
• 通过统一的正则化框架，统一并推广现有关于凸集、和积现象与扩张子集的结果。
• 在非对称和积估计中实现突破性结果，特别是当一个集合的和或积数量很少时。

提出的方法

• 将源自 Xue [20] 的正则化技术（最初来自 [9]）应用于寻找具有正密度和有利加法结构的子集。
• 应用关联几何与直线能量界限，特别是使用 Rudnev 和 Shkredov [10] 的定理 8，以控制形如 y = ax + a′ 的点与直线之间的关联。
• 采用乘法与加法能量分解，包括 E₃⁺(A₂, D) 与 E₃ˣ(A₁, A)，以关联子集中的加法与乘法结构。
• 结合 Roche-Newton 与 Warren [8] 的界限，以及 Roche-Newton 与 Rudnev [7] 的加法组合结果，推导关联估计。
• 利用柯西-施瓦茨能量界限与对偶性论证，将 |A + λA| 与乘法能量 E₃ˣ(A₁, A) 关联，从而实现指数优化。
• 推导出 |AB + A| 的两个互补界限，通过最大化操作结合，最终获得指数 3/2 + 3/170。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f 为凸或凹函数时，能否在已知 24/19 指数之外，为 |A + f(A)| 建立更优的下界？
• RQ2 在使用凸函数时，和积现象在非对称集合 A 和 B 上能在多大程度上被加强？
• RQ3 在非对称设定下，特别是当 |A + B| 较小时，和积估计中的 3/2 门槛能否被打破？
• RQ4 如何将有限域和积理论中的正则化技术适配到实数域中的凸函数？
• RQ5 对于有限集 A ⊆ ℝ，|AB + A| ≳ |A|^{c} 的最优指数 c 是多少？能否超过 3/2？

主要发现

• 主要结果建立了对有限 A, B ⊆ ℝ 及凸或凹函数 f, g，有 |A + B|³⁸|f(A) + g(B)|³⁸ ≳ |A|⁴⁹|B|⁴⁹。
• 该结果意味着 |A + f(A)| ≳ |A|⁴⁹ᐟ³⁸，优于 Li 与 Roche-Newton 的先前结果（24/19 指数）。
• 建立了和集-和积界限 |A + A| + |f(A) + f(A)| ≳ |A|⁴⁹ᐟ³⁸，优于 Shkredov 的 100/79 指数。
• 推导出新的非对称和积结果：|AB|³⁸|A + B|³⁸ ≳ (|A||B|)⁴⁹，该结果在极端情况下打破了 3/2 的门槛。
• 当 |A| = |B| = N 且 |A + B| ≲ N 时，该界限意味着 |AB| ≳ N³ᐟ²⁺³ᐟ³⁸，突破了通常的 3/2 障碍。
• 通过精细分析加法能量与关联几何，证明了三元扩张子界限 |AB + A| ≳ |A|³ᐟ²⁺³ᐟ¹⁷⁰。