[论文解读] On sums of binomial coefficients modulo p^2

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文通过使用 $p$-进整数 $h$ 和 $m$，建立了关于加权和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ 的新同余式，模 $p^2$，其中权重由二项式系数 $\binom{hp^a - 1}{k}$ 索引。关键结果将这些和用卢卡斯序列和费马商表示，改进了模 $p$ 的早期结果，并将其推广到更高的 $p$-进精度。

ABSTRACT

Let p be an odd prime and let a be a positive integer. In this paper we investigate the sum $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}/m^k$ mod p^2, where h,m are p-adic integers with m ot=0 (mod p). For example, we show that if h ot=0 (mod p) and p^a>3 then $$ sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-h/2)^k =(\frac{1-2h}{p^a})(1+h((4h-2)^{p-1}/h^{p-1}-1)) (mod p^2),$$ where (-) denotes the Jacobi symbol. Here is another remarkable congruence: If p>3 then $$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{p^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-1)^k =3^{p-1}(\frac{p^a}3) (mod p^2).$$

研究动机与目标

• 将关于中心二项式系数和模 $p$ 的已知结果推广到模 $p^2$ 的更高精度。
• 研究形如 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ 的和的结构，其中 $h, m$ 为 $p$-进整数且 $m \not\equiv 0 \pmod{p}$。
• 将这些和用卢卡斯序列 $u_n(A,B)$ 和 $v_n(A,B)$ 表示，并引入费马商 $q_p(h)$。
• 改进并推广孙及其他学者关于中心二项式系数的 $p$-进赋值和同余式的早期结果。
• 建立一个统一并推广特例（如 $m=3$、$m=5$ 和 $m=-2$）的一般同余式（定理 1.2）。

提出的方法

• 使用满足 $m \not\equiv 0 \pmod{p}$ 的 $p$-进整数 $h$ 和 $m$ 来定义中心二项式系数的加权和。
• 应用恒等式 $\binom{hp^a - 1}{k} \equiv 1 - h p^a H_k \pmod{p}$（当 $k < p^a$ 时），其中 $H_k$ 为第 $k$ 个调和数。
• 利用卢卡斯序列 $u_n(m-2,1)$ 和 $v_n(m-2,1)$ 表达主要同余式，其特征根 $\alpha, \beta$ 满足方程 $x^2 - (m-2)x + 1 = 0$。
• 引入费马商 $q_p(h) = (h^{p-1} - 1)/p$，以捕捉模 $p^2$ 同余中的 $p$-进校正项。
• 使用莫雷利同余式 $\binom{p-1}{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 4^{p-1} \pmod{p^3}$ 来细化特殊情形的结果。
• 推导涉及调和和 $\sum_{k=1}^{p-1} (-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{k(m-4)^k}$ 的辅助同余式，模 $p$，其与 $q_p(m-4)$ 和卢卡斯序列值相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 $p$-进整数 $h, m$ 的情形，计算形如 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ 的和模 $p^2$？
• RQ2 卢卡斯序列 $u_n(m-2,1)$ 和 $v_n(m-2,1)$ 在模 $p^2$ 表达这些和时起什么作用？
• RQ3 费马商 $q_p(h)$ 和 $q_p(m-4)$ 如何贡献于模 $p^2$ 的精确同余式？
• RQ4 在什么条件下，该和可简化为仅含雅克比符号 $\left(\frac{\Delta}{p^a}\right)$ 和 $h((m-4)^{p-1} - 1)$ 的表达式？
• RQ5 结果能否特例化以恢复或改进 $m=3$、$m=5$ 或 $m=-2$ 的已知同余式？

主要发现

• 定理 1.1 建立了在 $h$ 和 $p^a$ 满足弱条件时，有 $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \binom{2k}{k} \left(-\frac{h}{2}\right)^k \equiv \left(\frac{1-2h}{p^a}\right) \left(1 + h\left(\left(4 - \frac{2}{h}\right)^{p-1} - 1\right)\right) \pmod{p^2}. $$
• 推论 1.1 给出 $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{p^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{(-2)^k} \equiv (-1)^{(p^a - 1)/2} 2^{p-1} \pmod{p^2}, $$ 这改进了 $a=1$ 时模 $p^3$ 的已知结果。
• 推论 1.2 表明 $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2p^a - 1}{k} \binom{2k}{k} (-1)^k \equiv \left(\frac{p^a}{3}\right) (2 \cdot 3^{p-1} - 1) \pmod{p^2} $$ 且 $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{p^a + k}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{2^k} \equiv \left(\frac{3}{p^a}\right) (1 - p(q_p(2) + q_p(3))) \pmod{p^2}. $$
• 推论 1.3 推导出当 $h = -2$ 时，有 $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2p^a + k}{k} \binom{2k}{k} (-1)^k \equiv \left(\frac{p^a}{5}\right) (3 - 2 \cdot 5^{p-1}) \pmod{p^2}. $$
• 定理 1.2 提供了一般公式： $$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{(-m)^k} \equiv \left(\frac{\Delta}{p^{a-1}}\right)(1 - \frac{hm}{2}) u_{p - (\frac{\Delta}{p})}(m-2,1) + \left(\frac{\Delta}{p^a}\right)(1 + h((m-4)^{p-1} - 1)) + \text{校正项} \pmod{p^2}, $$ 其中 $\Delta = m(m-4)$。
• 当 $hm \equiv 2 \pmod{p}$ 时，和简化为 $$ \left(\frac{\Delta}{p^a}\right)(1 + h((m-4)^{p-1} - 1)) + \text{校正项}, $$ 且当 $p^a = 3$ 且 $3 \mid m-1$ 时校正项非零，否则为零。