[论文解读] On super Catalan polynomials

Emily Allen, Irina Gheorghiciuc|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入了超卡塔兰数的 $ q $-模拟，定义为 $ S_q(m,n) = \frac{[2m]!_q[2n]!_q}{[m]!_q[n]!_q[m+n]!_q} $，该定义同时推广了经典超卡塔兰数和 F"urlinger-Hofbauer 的 $ q $-卡塔兰数。主要贡献是通过特定类别的投票路径上的带符号主要指标生成函数，给出了 $ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ 的组合解释，从而确立了单峰性以及超卡塔兰递推关系的 $ q $-模拟。

ABSTRACT

We present a $q$-analog of the super Catalan number $(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$, which also generalizes the $q$-Catalan numbers $c_n(λ)$, due to Fürlinger and Hofbauer, for $λ=0$ and $λ=1$. We give a combinatorial interpretation for this analog when $m=2$.

研究动机与目标

• 将 $ q $-卡塔兰数扩展到更广泛的多项式类，以推广超卡塔兰数。
• 为 $ q $-模拟 $ T_q(2,n) $（定义为 $ S_q(2,n)/(1+q^n) $）提供组合解释。
• 建立超卡塔兰递推关系 $ 4T(m,n) = T(m+1,n) + T(m,n+1) $ 的 $ q $-模拟。
• 证明 $ S_q(m,n) $ 是具有非负整数系数的多项式，并研究其单峰性。

提出的方法

• 通过 $ q $-阶乘和 $ q $-二项式系数定义 $ q $-模拟 $ S_q(m,n) $。
• 将 $ q $-投票数 $ B_q(n,r) $ 定义为 $ \mathcal{B}(n,r) $ 中路径的生成函数，并引入带符号的主要指标统计量。
• 构建路径高度 > $ 2r-1 $ 与 $ \mathfrak{S}(n+r,n-r-1) $ 中路径之间的双射 $ \psi $，并保持主要指标不变。
• 定义从投票路径子集 $ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ 到迪克路径集 $ \mathcal{C}_n \setminus \Omega_n $ 的映射 $ g $，保持 $ \operatorname{maj} - \operatorname{des} $ 的差值（最多一个平移）。
• 利用双射 $ g $ 关联 $ B_q(n,1) $ 和 $ B_q^*(n,2) $，导出恒等式 $ q^2 B_q(n,1) - B_q^*(n,2) = q^2 \sum_{\pi \in \Omega_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $。
• 利用超卡塔兰递推关系的 $ q $-模拟推导出涉及 $ T_q(m,n) $ 的恒等式，包括 $ (1+q^n)(1+q^{n-m})T_q(m,n) = q^{n-m}T_q(n,m+1) + T_q(m,n+1) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个超卡塔兰数的 $ q $-模拟，使其同时推广经典超卡塔兰数和 F"urlinger-Hofbauer 的 $ q $-卡塔兰数？
• RQ2 是否存在 $ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ 的组合解释，以格路和带符号主要指标统计量表示？
• RQ3 超卡塔兰递推关系 $ 4T(m,n) = T(m+1,n) + T(m,n+1) $ 的 $ q $-模拟是否成立？
• RQ4 能否通过组合方法证明 $ S_q(m,n) $ 的单峰性？
• RQ5 生成函数 $ T_q(2,n) $ 与受限高度和下降结构的迪克路径集之间是否存在精确关系？

主要发现

• $ q $-模拟 $ S_q(m,n) $ 是具有非负整数系数的多项式，该结论由 Warnaar 和 Zudilin 建立，并通过组合构造得到验证。
• 多项式 $ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ 具有组合解释：$ \sum_{\pi \in \mathcal{B}^{**}(n,2)} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $，其中 $ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ 是特定类别的投票路径。
• 映射 $ g $ 在 $ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ 与 $ \mathcal{C}_n \setminus \Omega_n $ 之间建立双射，使得 $ \operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi) = \operatorname{maj}(g(\pi)) - \operatorname{des}(g(\pi)) + 2 $，从而导出恒等式 $ q^2 B_q(n,1) - B_q^*(n,2) = q^2 \sum_{\pi \in \Omega_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $。
• 超卡塔兰递推关系的 $ q $-模拟成立：$ (1+q^n)(1+q^{n-m})T_q(m,n) = q^{n-m}T_q(n,m+1) + T_q(m,n+1) $，推广了经典恒等式。
• 当 $ m=1 $ 时，$ T_q(1,n) = \sum_{\pi \in \mathcal{C}_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $，与 F"urlinger-Hofbauer 的 $ q $-卡塔兰数 $ c_n(0) $ 一致；且 $ T_q(n,1) = \sum_{\pi \in \mathcal{C}_n} q^{\operatorname{maj}(\pi)} = c_n(1) $。
• 该构造证实 $ T_q(2,n) $ 是具有非负整数系数的多项式，并为证明 $ S_q(m,n) $ 的单峰性提供了关键步骤。