[论文解读] On surfaces of general type with $p_g=q=1, K^2=3$

Francesco Polizzi|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 24

一句话总结

本文研究了具有 $p_g = q = 1$，$K^2 = 3$ 的一般型曲面，聚焦于此类曲面的模空间 $\mathscr{M}$。它刻画了模空间 $\mathscr{M}$ 中参数化具有亏格 2 笔的曲面的子集 $\mathscr{M}_2 \subset \u005Cmathscr{M}$，并证明了模空间中存在一个稠密的非空开子集 $\mathscr{M}^0 \subset \u005Cmathscr{M}$，其参数化的是双有理的二阶 canonical 映射的曲面，主要工具为拟 canonical 映射与椭圆曲线的对称积。

ABSTRACT

The moduli space $\mathscr{M}$ of surfaces of general type with $p_g=q=1, K^2=g=3$ (where $g$ is the genus of the Albanese fibration) was constructed by Catanese and Ciliberto in \cite{CaCi93}. In this paper we characterize the subvariety $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ corresponding to surfaces containing a genus 2 pencil, and moreover we show that there exists a non-empty, dense subset $\mathscr{M}^0 \subset \mathscr{M}$ which parametrizes isomorphism classes of surfaces with birational bicanonical map.

研究动机与目标

• 刻画模空间 $\u005Cmathscr{M}$ 中参数化具有亏格 2 笔的曲面的子簇 $\u005Cmathscr{M}_2 \subset \u005Cmathscr{M}$，其中 $\u005Cmathscr{M}$ 是具有 $p_g = q = 1$，$K^2 = 3$ 的一般型曲面的模空间。
• 确定一般此类曲面的二阶 canonical 映射是否为双有理映射。
• 分析拟 canonical 系的几何性质及其与椭圆曲线 $E$ 的第三对称积 $E(3)$ 的关系。
• 解决线性系统 $|\mathfrak{D}_0|$ 在 $E(3)$ 上的基点自由性问题，该系统参数化此类曲面。

提出的方法

• 研究使用了拟 canonical 映射 $\omega: S \to E(3)$，该映射将曲面映射到椭圆曲线的第三对称积，将 $S$ 的 canonical 模型识别为其像。
• 分析了 $E(3)$ 上的线性系统 $|\mathfrak{D}_0|$，其中 $\mathfrak{D}_0 \sim 4D - F$，并研究了具有至多有理双 singularity 的除子。
• 本文应用了 Scharlau 的方法（Schr\\\

实验结果

研究问题

• RQ1 具有亏格 2 笔的曲面对应的子集 $\u005Cmathscr{M}_2 \subset \u005Cmathscr{M}$ 的结构是什么？
• RQ2 一般曲面在 $\u005Cmathscr{M}$ 中的二阶 canonical 映射是否为双有理映射？
• RQ3 线性系统 $|\mathfrak{D}_0|$ 在 $E(3)$ 上是否有基点，或是否为基点自由？
• RQ4 具有 $p_g = q = 1$，$K^2 = 3$ 的曲面是否可能具有度为 2 或 6 的二阶 canonical 映射？

主要发现

• 具有亏格 2 笔的曲面的子集 $\u005Cmathscr{M}_2 \subset \u005Cmathscr{M}$ 被刻画为模空间 $\u005Cmathscr{M}$ 的一个真子簇，该子簇光滑、不可约，且维数为 5。
• 存在一个非空且稠密的开子集 $\u005Cmathscr{M}^0 \subset \u005Cmathscr{M}$，其参数化的是具有双有理二阶 canonical 映射的曲面的同构类。
• 此类曲面的二阶 canonical 映射仅在度为 2 或 6 时非双有理，但通过利用纤维的斜率与 Grauert-Fischer 定理，利用反证法排除了这两种情况。
• 度 $d=6$ 的情况通过证明此类映射的存在性会导致 canonical 除子类与分支除子结构之间的矛盾而被排除。
• 度 $d=2$ 的情况通过二阶 canonical 除子与超平面截面的次数与交比理论中的矛盾被排除。
• 线性系统 $|\mathfrak{D}_0|$ 被证明是基点自由的，从而解决了 Ciliberto 与 Catanese 提出的问题，方法是分析对称积结构与 Heisenberg 群作用。