[论文解读] On Sylvester Colorings of Cubic Graphs

Anush Hakobyan, Vahan Mkrtchyan|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明了关于立方伪图的西尔维斯特着色猜想，并确立了两个关键结果：(1) 每个立方图都存在一种S-着色，使得至少4/5的顶点满足西尔维斯特条件；(2) 每个无爪立方图都存在一种完整的S-着色。这些结果推进了对立方图边着色的理解，并支持更广泛的猜想：在10个顶点上的西尔维斯特图S是所有立方图的通用着色器。

ABSTRACT

If $G$ and $H$ are two cubic graphs, then an $H$-coloring of $G$ is a proper edge-coloring $f$ with edges of $H$, such that for each vertex $x$ of $G$, there is a vertex $y$ of $H$ with $f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$. If $G$ admits an $H$-coloring, then we will write $H\prec G$. The Petersen coloring conjecture of Jaeger states that for any bridgeless cubic graph $G$, one has: $P\prec G$. The second author has recently introduced the Sylvester coloring conjecture, which states that for any cubic graph $G$ one has: $S\prec G$. Here $S$ is the Sylvester graph on $10$ vertices. In this paper, we prove the analogue of Sylvester coloring conjecture for cubic pseudo-graphs. Moreover, we show that if $G$ is any connected simple cubic graph $G$ with $G\prec P$, then $G = P$. This implies that the Petersen graph does not admit an $S_{16}$-coloring, where $S_{16}$ is the smallest connected simple cubic graph without a perfect matching. $S_{16}$ has $16$ vertices. %We conjecture that there are infinitely many connected cubic simple graphs which do not admit an %$S_{16}$-coloring. Finally, we obtain $2$ results towards the Sylvester coloring conjecture. The first result states that any cubic graph $G$ has a coloring with edges of Sylvester graph $S$ such that at least $\frac45$ of vertices of $G$ meet the conditions of Sylvester coloring conjecture. The second result states that any claw-free cubic graph graph admits an $S$-coloring. This results is an application of our result on cubic pseudo-graphs.

研究动机与目标

• 证明立方伪图的西尔维斯特着色猜想。
• 为一般立方图中的S-着色建立至少4/5顶点满足条件的界限。
• 证明所有无爪立方图都存在完整的S-着色。
• 证明彼得森图P是唯一满足P ≺ G的连通简单立方图。
• 证明16个顶点的立方图S₁₆（缺乏完美匹配）不具有S-着色。

提出的方法

• 使用边着色映射f: E(G) → E(H)，使得对于G中的每个顶点x，其关联边在f下的像恰好构成H中某个顶点的边集。
• 通过在子图和伪图上使用限制与扩展技术来构造S-着色。
• 应用≺关系的传递性，实现跨图的链式着色。
• 使用结构分解：将顶点替换为三角形，通过伪图建立H与G之间的关联。
• 对无爪图使用|V(G)|的归纳法，并利用此类图的已知刻画。
• 利用S₁₂可通过S₄的顶点-三角形替换得到的事实，并利用伪图的S₄-着色性，将结果推广至S₁₂，进而推广至S。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个立方伪图是否如西尔维斯特着色猜想所声称的那样具有S-着色？
• RQ2 能否构造一种着色，使得任意立方图中至少4/5的顶点满足西尔维斯特条件？
• RQ3 每个无爪立方图是否都具有完整的S-着色？
• RQ4 彼得森图是否是唯一满足P ≺ G的连通简单立方图？
• RQ5 缺乏完美匹配的16个顶点的立方图S₁₆是否具有S-着色？

主要发现

• 西尔维斯特着色猜想对所有立方伪图成立。
• 对于任意立方图G，存在一种S-着色，使得至少4/5的顶点满足西尔维斯特条件，即|V(f)| ≥ (4/5)|V(G)|。
• 任何无爪立方图都具有完整的S-着色，即S ≺ G。
• 彼得森图P是唯一满足P ≺ G的连通简单立方图。
• 16个顶点的立方图S₁₆不具有S-着色，因其缺乏完美匹配且不可S-着色。